【摘 要】
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随机问题广泛出现于物理学、化学、生物学等自然科学与工程的许多领域([1,2,13,54]).随机微分方程(stochastic differential equation,SDE)是描写随机现象的一种常用工具([23
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随机问题广泛出现于物理学、化学、生物学等自然科学与工程的许多领域([1,2,13,54]).随机微分方程(stochastic differential equation,SDE)是描写随机现象的一种常用工具([23,27,29,33]).然而大多数随机微分方程由于其复杂性(如非线性性)无法求得其精确解,因此数值解法就成为了一个不可替代的途径.由Gillespie创建的随机模拟算法(stochastic simulation algorithm,SSA)([4,9,12,14,18])是数值模拟化学反应过程的一种精确而有效的方法.但是对复杂化学反应系统(反应物较多或反应速度差异较大),SSA的模拟效率较低,需要改进.本文研究了随机模拟算法的优缺点及一些衍生算法,随机模拟算法与传统的隐式方法的复合算法,以及随机Nystrom方法.本文共分四章:第一章给出了本文的研究背景,介绍了 SSA和随机微分方程的发展及基础知识.第二章主要研究了 SSA及其衍生的r-leap算法、化学Langevin方程(chemical Langevin equation,CLE)、慢尺度随机模拟算法(Slow-scale SSA,ssSSA).本章详细给出了生物化学反应的到下一个反应的时间间隔和下一个反应序号的推导过程以及一般情况下倾向性函数的描述和慢尺度倾向性函数的计算方法,然后进行一些数值实验加以佐证;除此之外,本章还研究了 τ-leap算法和化学Langevin方程导出的τ-leap EM方法,并且受Euler-Heun方法([4,5])的启发提出了 τ-leap Heun方法,并对之做了分析.由于SSA每一步都是精确模拟,而且生物化学反应与微分方程可以相互转化(并不总是能转化),再联系到数值方法中的隐式方法在使用计算机模拟的时候需要提前知道下一步的值,于是第三章将SSA与隐式方法(隐式Euler法,隐式中点法,隐式梯形法)结合,记作隐式SSA,通过大量的数值实验证明了对于化学反应率方程来说,隐式SSA方法比传统的隐式方法更适合长时间大步长的计算.最后,从SSA倾向性函数的角度阐述了为什么隐式中点法和梯形法优于隐式Euler法.对于生物化学反应来说,SSA更多倾向于系统内部噪音,受此启发,第四章主要研究其外部噪音,研究方法就是带加性噪音的随机Nystrom方法,记作SN.本章先给出了 SN的定义,然后将之与随机Runge-Kutta方法(SRK)从阶矩的角度作了比较,说明了 SN比SRK精度更高;然后再讨论了其强弱阶、稳定性和收敛性;最后进行了数值试验,从简单的分子分解模型到基因调控网络模型均说明了随机Nystrom方法能更好地表现细胞行为.最后一章本文总结了做出的主要贡献以及一些尚需解决的问题,然后再展望一下未来可以着手研究的方向.
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