【摘 要】
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一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都可以表示成哈密尔顿系统.构造哈密尔顿系统的保结构算法对长时间精确、有效的数值模拟具有重要意义.如今,有限维哈密尔顿系统保结构算法的理论已经日趋完善,在众多领域得到成功应用.相比而言,无穷维哈密尔顿系统的保结构算法尚处于发展阶段,仍有许多基本理论需要完善.例如:偏微分方程保结构算法的高阶格式的构造和传统数值分析是计算科学领域中的一个挑战.此外,保结构算法在处理守
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一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都可以表示成哈密尔顿系统.构造哈密尔顿系统的保结构算法对长时间精确、有效的数值模拟具有重要意义.如今,有限维哈密尔顿系统保结构算法的理论已经日趋完善,在众多领域得到成功应用.相比而言,无穷维哈密尔顿系统的保结构算法尚处于发展阶段,仍有许多基本理论需要完善.例如:偏微分方程保结构算法的高阶格式的构造和传统数值分析是计算科学领域中的一个挑战.此外,保结构算法在处理守恒系统时优势明显,理论丰富.但非守恒系统的保结构算法的理论尚处于发展状态.特别处理非守恒偏微分方程系统的保结构算法理论几乎没有.因此,本论文致力于如下两个方面的研究:1.无穷维哈密尔顿系统高阶保结构算法的构造和收敛性分析.2.非守恒偏微分方程系统保结构算法的构造和收敛性分析.主要的研究成果包括:1.对三维时域麦克斯韦方程组,我们构造了一个六阶能量守恒格式.我们首先证明了该格式可以保持麦克斯韦方程组的所有期望的结构.随后,基于能量方法,在对网格比没有任何要求的前提下,建立了该格式的最优L2误差估计.最后,我们从数值色散的角度分析了该格式的一些性质.2.基于分裂思想,我们给出了一维阻尼非线性薛定谔方程的一个守恒Fourier拟谱格式.我们首先证明了该格式可以精确保持离散全局能量和共形质量守恒律.随后,讨论了该格式的解的存在性、唯一性和稳定性.最后,在对网格比没有任何要求的前提下,建立了该格式的L∞误差估计.3.考虑三维阻尼非线性薛定谔方程,我们推导出了一个线性化的守恒Fourier拟谱格式.我们首先证明该格式能保持两个离散全局守恒律.随后,讨论了该格式解的存在唯一性.最后,基于数学归纳法和能量估计方法,建立了该格式的无条件最优L2误差估计.
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