【摘 要】
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20世纪70年代,Black和Scholes提出了著名的Black-Scholes期权定价模型,为全球期权市场的发展奠定了理论基础,极大地促进了数学和金融学交叉领域的发展。本文研究期权定价问题的差分方法,由于期权价格正性是基本要求,我们致力于发展保正性的差分方法。基于费曼-卡茨公式,抛物型方程的解可以表示为一个条件期望,我们希望通过逼近条件期望来获得保正性的数值格式。对于多维问题,只能在特定条件下
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20世纪70年代,Black和Scholes提出了著名的Black-Scholes期权定价模型,为全球期权市场的发展奠定了理论基础,极大地促进了数学和金融学交叉领域的发展。本文研究期权定价问题的差分方法,由于期权价格正性是基本要求,我们致力于发展保正性的差分方法。基于费曼-卡茨公式,抛物型方程的解可以表示为一个条件期望,我们希望通过逼近条件期望来获得保正性的数值格式。对于多维问题,只能在特定条件下（如协方差矩阵对角占优）才能构造一个具有离散概率结构的紧致差分格式,因此我们放弃紧致性的要求。首先对一维问题,我们提出两类非紧致的显式保正格式,分析了算法的相容性、收敛性和稳定性;在此基础上,提出了求解二维问题的非紧致差分格式,数值实验及对多资产期权定价的应用验证了这一新算法是有效的。本文提出的算法保正性的成立对问题相应的协方差矩阵没有任何要求,而且和紧致格式的显式算法比较,我们的算法中时间步长可以放大,只需与空间步长同阶即可。理论分析和数值实验结果都表明,本文提出的基于期望的非紧致差分格式可以为多资产期权定价问题提供一种无条件保正的差分格式,从而为金融市场提供准确的期权价格。
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