微分方程的振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支，起源于1836年Sturm提出二阶线性常微分方程x"(t)+q(t)x(t)=O，从此对于线性与非线性方程的振动性理论有了很大的发展，得到了大量的、重要的研究成果.经几十年，常微分方程的振动理论推广到泛函微分方程、差分方程、偏微分方程以及生态数学等有关领域.差分方程(或递归序列)被看作是微分方程及延迟微分方程的离散化和数字解.随着科学技术的迅猛发展，差分方程理论，不仅在工程技术，自动控制以及航天卫星等尖端领域中有着重要的应用，而且在计算机科学、人口动态学和经济金融等领域也己成为不可缺少的数学工具.同时由于差分方程所表达的离散系统常常与相应的连续系统具有完全不同的特性，因而使许多研究者对它产生了更多的关注.差分方程的振动性理论、渐近性理论和正解存在性理论，是差分方程定性理论的重要内容，因此对其进行研究具有极大的理论意义和实用价值.　　 本文在第一章介绍了问题研究的背景和该领域的研究现状，简述了几个基本概念和研究方法，文章第二章第二节研究了一类二阶非线性差分方程△(an-1Ψ(xn-1)△xn-1)+Q(n,xn)=P(n,xn,△xn)解的振动性和渐近性。文章第二章第三节在前人所做的研究工作基础上研究了一类更为广泛的二阶非线性差分方程△(an-1Ψ(xn-1)(△xn-1)α)+Q(n,xn)=P(n,xn,△xn)，n≥1.解的振动性，其中n∈N(n0)={n0，n0+1,n0+2，…}(n0是一个定的非负整数)，α为两正整数之商(奇数/奇数，或偶数/偶数)，获得了两个新的振动性定理，推广和改进了已知的一些结果.在第三章，文章对一类二阶非线性微分方程(a(t)Ψ(x(t))x(t))+Q(t,x(t))=P(t,x(t)，x(t))的非振动解的渐近性质做了进一步研究，得到三个新的渐近性定理，推广和改进了一些已知的结果.