符号矩阵理论是组合矩阵论中的一个新兴研究方向，该理论主要研究矩阵的 仅与其符号模式有关的那些性质。它最早来源于经济学中对某些问题的定性性质 的研究。其开创性工作是由诺贝尔奖获得者、经济学家P.Samuelson首先作出的(参 见文[46])。由于符号矩阵理论在经济学上有重要的应用价值，从而引起了经济学 家、数学家及计算机理论专家的广泛关注。1995年，R.A.Brualdi与B.L.Shader合作 完成了符号矩阵论的第一部专著《Matrices of Signsolvable Linear Systems》([4])。该 专著全面系统地总结了在符号矩阵理论方面的研究成果，同时给出了许多新的结 论，从而使符号矩阵理论成为组合数学的一个新兴研究热点。 本文主要研究了符号矩阵理论中的二个专题：一是条件S*-阵的性质、判别 和特征刻划问题;二是与符号稳定矩阵的判别相关的若干图论问题的研究。 众所周知，线性方程组的符号可解性判别问题可转化为L-阵与S*-阵的判 别问题([9]、[29]、[38])。因此，L-阵与S*-阵是符号矩阵论中非常重要且研 究得也十分透彻的两种矩阵。另外，每行均有正有负的S*-阵称为S-阵。一般 地，任一S*-阵可经适当的列变号化为S-阵;故我们常直接对S-阵进行研究。在 文[5]中，R.A.Brualdi，K.LChavey及B.L.Shader把线性方程组的符号可解性判别问 题推广到条件符号可解性判别问题。而在多数应用问题中，条件符号可解比一般 符号可解更接近于实际问题的要求。与此相应地他们引进了S*-阵和S-阵的一 种推广-CS*-阵和CS-阵(即条件S*-阵和条件S-阵)。利用CS*-阵他们 证明了条件符号可解线性方程组的判别问题可转化为L-阵与CS*-阵的判别问 题，从而推广了有关符号可解线性方程组的经典判别结果。此后在文[54]中， J.Y.Shao和Suk-Geun Hwang利用GRSB阵给出了CS*-阵和CS-阵的一个有用的 特征刻划。但总的来说，对CS*-阵和CS-阵的研究还远不如对S*-阵和S-阵 那样深入和完全。在本文的第二章中，我们对CS*-阵和CS-阵进行了更为细致 深入的研究。所做的主要工作如下： 1. 通过引进矩阵的“强行”的概念，把在S*-阵，S-阵及L-阵的 研究中起重要作用的“共形收缩”变换推广为“广义共形收缩”变 换，使它成为研究CS*-阵和CS-阵的一个有力工具。 2. 通过引入标准RSB阵的概念，并且结合图论方法给出了CS-方阵的 一个特征刻划及多项式时间的判别算法；同时给出了CS-方阵的非 零元个数的sharp上、下界及达到这些界的CS-方阵的完全刻划。 3. 进一步研究了在[5]中已作了初步研究的一个重要的特殊CS矩阵类 -BCS-阵。对固定的正整数n，我们通过结合使用数论方法给出 了存在一个m×n的BCS-阵的充要条件；同时也给出了BCS-阵的 非零元个数关于列数n的sharp上、下界及达到这些界的BCS-阵 的完全刻划。 4。 作为极大S-阵概念的推广，我们引进了极大CS-阵的概念，并给 出判别极大CS-阵的一些(递归的)必要条件与充分条件以及某些 特殊情形下的充要条件。 事实上，文[9]的第四章中关于S*-阵或S-阵的许多重要性质都在本文中被 推广到了CS*-阵或CS-阵，从而原来的结论就成为我们所得结果的推论。 本文研究的另一个专题是矩阵的符号稳定性及与之相关的图论方法和图论问 题。一个实矩阵的符号稳定性问题在经济学、生态学等诸多领域中均有重要的应 用背景。在文[21]中，CJeffries，V.Klee及P.Van den Driessche给出了不可约方阵A 为符号稳定的一个特征刻划。但该特征刻划主要是从纯矩阵论的角度给出的。在 本文的第三章中，我们用图论方法进一步深入地研究了矩阵的符号稳定性并得到 了一些较为直观的充分必要条件。所做的主要工作如下： 1. 把一个实矩阵的符号稳定性判定问题转化为一个等价的图论问题， 即判定无向树中一个点子集的稳定性问题。我们引入了树的稳定子 集的概念并给出了稳定子集的递归判别方法，由此不难得到一个多 项式步数的判别算法。 2. 提出并研究了树的稳定指标，即树中所有稳定子集的最小基数。证 明了关于稳定指标的一个min-max型定理；并给出了树的稳定指标 的最好上界及达到该上界的极树的完全刻划。 关键词：符号 矩阵 符号稳定 稳定子集 稳定指标 图 导出子图