有理样条函数是多项式样条函数的一种自然推广，但由于有理样条空间的复杂性，所以有关它的研究成果不像多项式样条那样完美，有些问题还值得进一步研究.本文一方面继续研究具有很重要应用价值的三角剖分上的多元有理样条方法，着重讨论了平面三角剖分上C1有理插值样条函数.另一方面积极地将多元有理样条理论方面获得的结果应用到计算机辅助几何设计中去，研究曲面造型等方面的问题.主要工作如下： 第二章主要研究了C1有理样条曲面约束范围插值问题.首先具体描述了C1有理样条函数等价形式的重心坐标下的表达式.非均匀有理B样条(NURBS)在形状定义方面具有强大的功能和潜力，国际标准组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法.文献[1-3]中利用广义楔函数方法构造了平面三角剖分上的Cμ有理样条函数，并给出了它的等价混合形式，具有完全局部构造、表达式显示以及保形性好等特点，并且如上所述，NURBS方法的研究已经比较成熟并且应用广泛，因此研究有理样条插值曲面与NURBS标准形式的内在联系是十分有意义的.基于上述考虑，本章具体描述了C1有理样条函数等价形式的重心坐标下的表达式，搭建起了有理样条曲面与NURBS之间关系的桥梁，它是三个三次Bernstein-Bézier三角曲面片的凸组合.而三角Bernstein-Bézier曲面片自从Farin[4]1980年系统提出以来，已经得到了迅速发展和广泛应用，将这些结果应用到有理样条曲面的研究中去，必将促进有理样条曲面理论的发展. 进一步基于上述C1有理样条函数重心坐标下的等价表现形式，实现了约束范围插值.在计算机辅助几何设计中，一个普遍的问题就是构造具有一定连续性的光滑拼接插值曲面，然而当数据点本身具有一些内在的性质时，诸如：正性，单调性，凸性等，人们希望构造的曲面也能保持这些性质.例如，在某些CAD环境中，面对一组有限数据的用户，可能认为一种保持某些特征的插值格式是理想的.而实际问题中的物理特征常可用数学形式进行描述，例如在物理学中得到的有关密度，降雨量等的一组数据是正的，就物理方面而言，总希望建立在这组给定数据上的插值格式也是正的，这就是所谓保正插值问题.更为广泛的是约束范围插值问题，即所给数据点在约束曲面范围之内，所构造的曲面也必须在约束曲面范围之内.这个问题已经被广泛的研究，随着研究的发展，约束曲面从平面发展到三次多项式曲面，从单一的上界或下界约束发展到上下界约束.本文由Bézier曲面非负的充分条件得到了有理样条函数系数的约束条件，从而保证了有理样条函数的非负性，进一步将此方法推广，实现了约束曲面为三次多项式的上下界约束有理曲面插值.该方法是完全显示的，不需求解连续性方程组和泛函的极小值问题，并且通过调整因子进行调整，是一种局部方法，具有调整灵活、计算简便的特点. 第三章，基于广义楔函数方法讨论了球面上散乱数据插值问题.球面上构造函数的问题应用领域是很广泛的，包括大地测量学，地理物理学和气象学等，其基本模型均为定义于球面上的函数插值问题.由于广义楔函数方法对考虑有理样条函数问题具有通用性，因此除对二维问题外，三维，以至更高维的问题也可以较容易地得到解决.鉴于此，我们由定义在高维流形上的插值算子在某些特殊的低维流形上的限制来得到低维流形上的插值算子，这种方法巧妙地避免了在低维流形上直接构造光滑过渡的插值算子所带来的困难，是局部构造的方法.首先对于圆周上的散乱数据插值问题，圆周上的散乱点与辅助点圆心构成了高维流形圆盘，定义在圆盘的三角剖分区域上的广义楔函数在圆弧上的限制即为圆弧端点处对应的广义楔函数，它们的组合即为定义在圆周上的C1插值样条.然后基于这种思想，解决了球面上的散乱数据插值问题.球面上的散乱点与辅助点球心构成了高维流形球体，通过求解定义在球体的四面体剖分区域上的广义楔函数在球面三角形上的限制即得对应于球面三角形各节点的广义楔函数，它们的组合即为定义在球面上的C1有理样条插值曲面. 第四章，给出了一种依赖型值的S1/2(△)和S1/3(△)多元样条空间非奇异自适应三角剖分的方法.众所周知，对于R2中的一组散乱点集，构造这组点集的三角剖分问题是在许多科学计算如曲面设计与拟合、有限元计算以及其他大型科学计算等领域中不可回避的问题.对于实际问题中所获得的海量数据点，从计算的效率和误差考虑，并非所有的数据点需要参与进行区域的剖分.因此研究依赖于数据型值的优化的有效三角剖分方法是十分必要的.不可否认，多元样条函数是以上科学计算领域中的重要而十分有效的工具，在许多方面有着重要的应用.但是多元样条空间的结构至今没有得到彻底的解决，特别是多元低次样条函数空间的维数不仅与剖分的拓扑结构有关而且还受到三角剖分的几何性质的约束.而低次的多元样条函数，由于它的许多性质被人们所认知而且计算简便等特点，成为科学应用中最为常用的工具.因此，研究具有如下特性的三角剖分方法是十分有意义的. 1.尽可能使用少量的数据点参与三角剖分，有效地提高定义在此剖分上的有理样条曲面的精度； 2.所生成的三角剖分应满足其上的S1/2(△)和S1/3(△)样条空间非奇异； 3.所生成的三角剖分应满足传统意义上的局部优化条件. 基于以上考虑，并且鉴于多元有理插值样条函数具有完全局部构造、表达式显示等特点，在文[5]中研究的S1/2(△)和S1/3(△)样条函数空间非奇异的三角剖分算法基础上，本章利用第二章中给出的C1有理样条函数的等价表现形式给出了满足上面3个性质的三角剖分方法.判断三角剖分节点选取的方法是一种离散的方法，由多元有理样条函数的系数定义了一种离散范数，从而给出了节点处权值的定义，以此来衡量节点在构造有理样条插值曲面中的重要性，进而决定该点的取舍.数值实验表明该方法是可行并且有效的.