众所周知,当代金融三大课题是：·最优投资问题；·定价与对冲问题；·风险度量与管理。以Markowitz的均值-方差分析(mean-variance analysis)和Sharpe的资本资产定价模型(capital asset pricing model, CAPM for short)为代表的是“第一次金融革命”；以Black-Scholes-Merton定价公式为标志的是“第二次金融革命”；在1997年,Artzner, Delbaen, Eber and Heath [2,3]提出了一种新的风险度量公理化体系：一致风险度量(coherent risk measure)。后来又弱化为凸风险度量([55,56])。以此为代表的金融理论创新已被称作“第三次金融革命”([153])。本文主要关注第二个和第三个问题。随着金融市场的快速发展,越来越难掌控金融产品的价格和投资者所面临的风险。所以我们必须寻找新的方法和先进的数学理论去建模。有的时候要从多维角度去看问题,有的时候要做出稳健的决策。本文将采用多维倒向随机微分方程理论和G-期望理论分别研究多维风险度量和模型不确定下的资产定价问题。本论文共四章：第一章是绪论,简单介绍文章的主要内容；第二章研究了由条件g-期望诱导的多维风险度量；第三章考虑了均值-波动率不确定下的资产定价问题,其中的概率模型是相互奇异的；第四章研究路径依赖的Hamilton-Jacobi-Bellman方程,利用G-期望给出了一类路径依赖HJB方程的概率解。下面是本文的主要结果：(Ⅰ)第一章是绪论,简单介绍各章节的研究内容,方法和意义。(Ⅱ)在第二章,我们研究了由条件g-期望诱导的多维动态风险度量。本章首先利用倒向随机生存性质给出了多维比较定理的充要条件的显示表达形式,然后研究了生成元的唯一性定理和矩形域上的生存性。利用这些结果给出了多维g-风险度量的保常性、单调性、非负性和平移不变性的充要条件。我们证明了一个多维g-风险度量是非增的且凸的当且仅当生成元g满足拟单调递增和凸的条件。也给出了多维动态凸g-风险度量的对偶表示,其中的惩罚项可以显示的表达出来。对偶表示定理说明了模型不确定性导致了风险度量的凸性。作为应用,我们考虑了如何用多维g-风险度量来度量带有多个子公司的集团的倒闭风险；关于γ-tolerant g-风险度量的最优风险共享和关于—致g-风险度量的风险贡献问题也作了一定研究。还提出了保险9-风险度量和其他诱导9-风险度量的方法。本文结果出自：Xu Yuhong, Multidimensional dynamic risk measure via conditional g-expectation, submitted to Mathematical Finance,1-32, Minor Revision.Hu and Peng [76]给出了多维比较定理的充要条件,本章给出了这个条件的显示表达。其实此显示表达已被Zhou H.[162]和Zhou S.[163]作为充分条件来研究多维比较定理。通过简短直接的计算,我们说明了Hu and Peng的条件与Zhou H.[162]的条件的等价性。定理2.1假设g1,g2满足(H1)～(H3)。则以下两个条件是等价的：(i)对于任意的t∈[0,T],(?)ξ1,ξ2∈L2(Ft；Rn)且ξ1≥ξ2,BSDEs (2.4)在时间区间[0,t]上的唯一解(Yi,Zi)∈SF2(0,t；Rn)×LF2(0,t；Rn×d),i=1,2,满足：Ys1≥Ys2,s∈[0,t],(ii)对于所有的κ=1,2,…,n,(?)t∈[0,T],(?)y’∈R”,gκ1(t,δyκ+y’,z)≥gκ2：(t,y’,z’),(1)对于所有的δyκ∈κy∈Rn且δyκ≥0,(δyκ)κ=0,z,z’∈Rn×d且(z)κ=(z’)κ。由比较定理2.1可以推出BSDEs (2.4)的生成元的一种唯一性结果。但是下面的唯一性定理不是定理2.1的直接推论。定理2.2对于任意的t∈[0,T],(?)ξ1=ξ2∈L2(Ft；Rn),Ys1=Ys2,(?)s∈[0,t],当且仅当对于所有的κ=1,2,…,n,(?)(t,y,z)∈[0,T]×Rn×Rn×d,gκ1：(t,y：z)=gκ2(t,y,z).为了给出矩形域上的生存性的显示条件,我们首先给出倒向方程非负解和非正解的充要条件。定理2.3假设g满足(H1)～(H3)。则以下两个条件是等价的：(ⅰ)对于任意的t∈[0,T],(?)ξ∈L2(Ft；Rn)且ξ≥0,(ξ≤0),BSDE(2.2)在时间区间[0,t]上的唯一解(Y,Z)满足：Ys≥0,(Ys≤0),s∈[0,t](ⅱ)对于所有的k=1,2,…,n,(?)t∈[0,T],gk(t,δky,δkz)≥0,(gk(t,-δky,δkz)≤0)(2)对于所有的δky∈Rn且δky≥0,(δky)k=0,δkz∈Rn×d,(δkz)k=0。进而我们有：推论2.2假设g满足(H1)～(H3)。对于任意的t∈[0,T],(ⅰ)假设C∈Rn。(?)ξ∈L2(Ft；Rn),且ξ≥C,(ξ≤C),有：Ys≥C,(Ys≤C),(?)s∈[0,t],当且仅当对于所有的k=1,2,…,n,(?)t∈[0,T],gk(t,δky+C,δkz)≥0,(gk(t,-δky+C,δkz)≤0)(3)对于所有的δky∈Rn且δky≥0,(δky)=0,δkz∈Rn×d,(δkz)k=0。(ⅱ)假设条件(2.9)成立,C1,C2∈Rn。(?)ξ∈[C1,C2],Ys∈[C1,C2],(?)s∈[0,t],当且仅当对于所有的k=1,2…,n,(?)t∈[0,T],gk(t,δky+C1,zk=0)≥0≥=gk(t,-δky’+C2,zk’=0),(4)对于任意的δky,δky’∈Rn且δky,δky’∈[0,C2-C1],(δky)k=(δky’)k=0。一个倒向方程实际上就是一个动态非线性期望机制。自然地我们可以定义多维g-期望εgt[ξ|Fs]=Ys,Ys是倒向方程的解。我们给出了关于多维条件g-期望的Jensen不等式的充要条件。定义2.2关于多维条件g-期望的Jensen不等式成立,如果对于任意的t∈[0,T],对于所有的ξ∈L2(Ft；Rn),凸函数φ：Rn→Rn且φ(ξ)∈L2(Ft；Rn),对于任意的k=1，2,…,n,a.s.,(?)s∈[0,t],εgkt[φk(ξk)|Fs]≥φk(εgkt[ξk|Fs]).(5)定理2.5假设g满足(H1)～(H3)及条件(2.9)。多维条件g-期望的Jensen不等式成立当且仅当(i)对于任意的k=1,2,…,n,gk不依赖于y且(?)(t,zk)∈[0,T]×Rd,gk(t,λzk)=λgk(t,zk),(?)λ≥0；gk(t,λzk)≥λgk(t,zk),(?)λ<0。利用多维g-期望我们定义了多维g-风险度量。定义2.4假设风险机制g满足(H1)～(H3)。对于任意的t∈[0,T],风险头寸ξ∈L2(Ft；Rn),我们定义多维静态g-风险度量ρ0,tg[ξ]=εgt[-ξ],多维动态g-风险度量ρs,tg[ξ]=εgt[-ξ[Fs],s∈[0,t]。在不引起混淆的情况下,我们记ρg=ρ0,Tg,ρtg=ρt,Tg。定义2.5称多维动态g-风险度量ρs,tg[·]是凸的如果对于任意的t∈[0,T],对于所有的风险头寸ξ1,ξ2∈L2(Ft；Rn),(?)λ∈[0,1]，(?)s∈[0,t],有ρs,tg[λξ1+(1-λ)ξ2]≤λρs,tg[ξ1]+(1-λ)ρs,tg[ξ2]。对于一个凸g-风险度量,我们有如下结果：定理2.7假设风险机制g满足(H1)～(H3)。对于任意的t∈[0,T],对于所有的风险头寸ξ1,ξ2∈L2(Ft；Rn),多维动态g-风险度量ρs,tg[·]是非增凸的当且仅当(?)t∈[0，T],(?)(yi,zi)∈Rn×Rn×d,i=1,2,对于所有的k=1,2,…,n,gk不依赖于(zj)j≠k且(?)λ∈[0,1],gk(t,λy1+(1-λ)y2-δky,zk)≤λgk(t,y1,zk1)+(1-λ)gk(t,y2,zk2),(6)对于任意的δky∈Rn且δky≥0,(δky)k=0,zκ=λzk1+(1-λ)zk2。定义2.6称多维动态g-风险度量ρs,tg[·]是一致的,如果它满足(i)(正齐次性)(?)ξ∈L2(Ft；Rn),(?)a∈R+,ρs,tg[aξ]=aρs,tg[ξ],(?)s∈[0,t]；(ii)(次可加性)对于所有风险头寸ξ1,ξ2∈L2(Ft；Rn),(?)s∈[0,t],ρs,tg[ξ1+ξ2]≤ρs,tg[ξ1]+ρs,tg[ξ2]。推论2.3假设风险机制g满足(H1)～(H3)。多维动态风险度量ρs,tg[·]是非增的且一致的当且仅当对于所有k=1,2,…,n,(?)t∈[0,T],(?)y∈Rn,gk不依赖于(zj)j≠k,(?)a∈R+gk(t,ay,azk)=agk(t,y,zk),(7)且(?)(yi,zki)∈Rn×Rd,i=1,2,gk(t,y1+y2-δky,zk1+zk2)≤gk(t,y1,zk1)+gk(t,y2,zk2),(8)对于任意的δky∈Rn且δky≥0,(δky)k=0。多维凸g-风险度量有下面的表示：定理2.8假设风险机制g满足(H1)～(H3)和条件(2.9)。对于每个k=1,…,n,设ρtg[·]k是ρtg[·]的第k维。则多维动态凸风险度量ρtg[·]在时间区间[0,T]上有如下表示：对于风险头寸ξ∈L2(FT；Rn),其中Qγ是具有密度过程dLt=LtγtdBt,L0=1×n单位矩阵)的概率测度,αtTβ(Qγ)=称作惩罚项。第2.4节定理2.9说明了一个多维9-风险度量若同时满足平移不变性和单调性,则它实际上是n个一维g-风险度量。在应用部分,我们举例说明了如何用多维倒向方程度量带有多个子公司的集团的倒闭风险,参见例2.1和2.2。然后我们研究了关于γ-tolerant g-风险度量的最优风险共享问题。考虑两个集团A和B,使用带有不同风险容忍系数γA,γB∈R+的多维.g-风险度量来度量他们的风险,i.e.,他们的风险分别是和对于每个κ=1,…,n,我们定义最小卷积定理2.11设Ptg,T是一个多维凸g-风险度量,其生成元9满足(H1)～(H3)和(2.9)及g(·,0,0≤0。则(?)γA,,γB∈R+,PgγA□pgγB是一个(γA+γB)-tolerant g-风险度量,i.e.,它是如下倒向方程的唯一解：另外,对于所有的是最优的转移头寸。我们也研究了关于多维一致g-风险度量的风险贡献问题。当一个集团公司有n个子公司(或一个由不同币种构成的投资组合),这时不得不使用多维风险度量。如果子公司存在潜在的收入X=(X1，…,X1)∈L2(FT；Rn),那么X给这些子公司带来多少风险呢?这种情况就必须考虑多维风险度量下的风险贡献。设Pg[·]是一个多维一致9-风险度量。定义关于Y定义极端测度(extreme measures)我们有如下表示：定理2.12对于X,Y∈L2(FT；Rn),对于每个κ=1,..,n,有(Ⅲ)在第三章,利用Peng的G-随机分析,我们考虑了具有均值和波动率不确定性的金融市场模型。股票价格模型用一般的几何G-布朗运动来描述。均值的不确定性可以不受波动率的不确定性的影响。推导出了(奇异)期权上价格所满足的Black-Scholes-Barenblatt方程。有趣的是此方程不依赖于投资者的风险偏好和标的股票的均值不确定性。我们称这种现象为“风险中性＆均值确定”的定价。我们考虑了上/下对冲策略的套利的定义。尤其下对冲策略套利的定义,与已有的工作有本质的不同。在上/下对冲过程中,仍然有一种平价关系。在Markovian背景下,给出了上对冲策略的随机控制表示。有限变差项K解释为delta对冲期权空头的Profit&Loss。最后我们说明了波动率不确定框架下的买卖价差可以由波动率变化区间和期权的Gamma来控制。本章结果主要来自于：Mean-volatility uncertainty, arbitrage ambiguity and continuous time asset pricing,1-46, Completed Manuscript.本章同时考虑均值不确定性和波动率不确定性。我们不知道期望收益率μ和波动率σ的运动方向和分布,但是知道它们在区间[μ,μ]和[σ,σ]内变化。设γ是无风险利率,则μ-r取值于区间[μ-r,μ-r]。设(βt)是一个有限变差G[μ-r,μ-r]-布朗运动,(Bt)是一个零平均G[σ2,σ2]-布朗运动。则股票价格过程满足：dSt=St (rdt+dβt+dBt).(13)值得注意的是我们没有在模型(13)中假设风险中性世界的存在。后面我们将推导出风险中性定价方式的确存在。在第3.2.5我们说明了如何利用实际数据估计波动率不确定性。第3.3节推导出了状态依赖和离散路径依赖未定权益的上对冲PDEs。对于状态依赖的未定权益,相应的HJB方程是：如果无风险利率也具有不确定性,i.e.,r∈[r,r],则上对冲PDE应该是：通过类似于第3.3.1节的推理程序,离散路径依赖未定权益的上对冲PDE在时间区间[tk-1,tk]上应该满足：此PDE序列Vκ,κ=1,…,N,是采用倒向递归的方式定义的。终端条件分别是：VN(T,X(N-1,x)=Φ(X(N-1,x),Vk(tκ,x(κ-1,x)=Vk+1(tκ,x(κ-1,x,x).(17)所不同之处是：虽然我们考虑了投资者的风险偏好和股票收益率μ的均值不确定性,但是相应的BSB方程却没有受到任何与风险偏好有关的变量的影响。在第3.4节,我们考虑了上／下对冲套利的定义。尤其下对冲套利的定义与Vorbrink[155]的工作有所不同。定义3.14称满足(3.32)的下策略((?),(?),(?))存在套利,如果值过程((?))满足(?)=0且定理3.5下策略((?)，(?)，(?))是无套利的。事实上,如果(3.34)成立,则由[102]中的严格比较定理可知,因此下策略无套利。对于上对冲策略,看跌-看涨平价关系仍然成立。定理3.6设ct和pt分别是是具有相同标的股票St,相同敲定价格L的欧式看涨期权和看跌期权的上对冲价格。则第3.4.5研究了具有严格非零上价格的资产与一般的几何G-布朗运动的关系。定义3.15称次线性期望E是风险中性的,如果折扣的股票价格(无红利)DtSt在E下是对称G-鞅。命题3.5设E是一个风险中性次线性期望。则每一个组合的折扣价格在E下都是G-鞅(不一定对称)。定义3.16称一个过程(Vt)是几何G-布朗运动,如果满足dVt=Vt(γtdt+αtdKt+OtdBt)θ(19)其中(Bt)是G-布朗运动,(Kt)是一个右连续递增适应过程,K0=0,(at)∈MG1,且(suP0≤t≤γ|αt|)·0-<-t<--TKT<∝,(γt)∈G1,占,(θt)∈MG2。或等价地有一个具有严格非零上价格的资产是一个在T时刻支付VT的证券,其上价格Vt≠0，q.s.,对于每个t∈[0,T]。定理3.7一个资产的上价格是严格非零的当且仅当其上价格是一般的几何G-布朗运动且V0≠0,(-Kt)是一个有界变差G-鞅。第3.5.1节利用随机控制方法给出了上对冲策略的控制表示。定理3.8设(?)(t,x)是(3.17)的唯一粘性解。则在第3.5.3节,我们给出了η和κ的解释。·η对应于期权的Gamma Γ;·κt对应于delta对冲期权空头的P&L：也就是说,通过选择适当的管理波动率σ,我们可以得到非负的P&L(即κ)。现在我们回到第3.4节的等式(3.26)。下面给出其明确的解释：·最小的上策略满足：组合值的变化减去即时的P&L,等于期权管理价格的变化。也就是说,在期权的上对冲过程中,我们可以即时的撤出资金(withdraw money)P＆L(t,t+dt),并最终达到终端支付函数(terminal payoff)。对于期权买方,为了保证盈利,他／她必须选择“最小的波动率”使得他／她在(t,t+dt)上的P&L总是非负的。Cont [25]提出按照下面的方式度量模型不确定性对未定权益ξ影响：下面的定理说明了ep(·)紧密依赖于波动率不确定性和gamma风险。定理3.9对于所有的ξ=Φ(ST),Φ是Lipschitz连续的,我们有其中因此买卖价差与波动率的波动水平有密切的联系。(Ⅳ)在第四章,我们证明了G-期望下的倒向方程给一类路径依赖的Hamilton-Jacobi-Bellman方程提供了概率解。特别的,一个G-鞅可以看作是一个路径依赖的非线性偏微分方程。也证明了某类路径依赖的偏微分方程可以转化成经典的状态依赖的多变量偏微分方程。作为应用,路径依赖的不确定波动率模型可以直接用路径依赖的Black-Scholes-Barrenblett方程来描述。本文主要出自：Xu Yuhong, Probabilistic solutions for a class of path-dependent HJB equations, Stochastic Analysis and Applications,31(3)(2013),440-459.一般来说,一个状态依赖的BSDE可以看作相应的抛物型PDE的路径解。Peng在他的ICM论文[135]中提出：一个路径依赖倒向方程的解或一个G-鞅可以看作一个非线性路径依赖(抛物型或椭圆型)PDE。本章部分回答了这个问题：定理4.3G-期望下的BSDE:其中给如下路径依赖Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程：的粘性解提供了概率解释,其中L(ωt,α)是带有控制变量α∈Γ(?)Rd的二阶椭圆偏微分算子：设(Y(s))是BSDE(4.12)的解。如果所有系数都是Lipschitz连续的,则由定理4.3,我们有定理4.4(?)(t,J1,J2,x)：=Y(t)是如下状态依赖PDE：的唯一粘性解。最后我们考虑了路径依赖的不确定波动率模型。给出了相应的定价公式并说明了路依赖的Black-Seholes PDE可以转化成路径依赖的热方程,见4.5节。