论文部分内容阅读
本文是关于带零条件的三维拟线性波方程经典解的能量随着时间的增长速度。给定在Hs×Hs-1空间中的带有紧支集的初值，在引入了一个使得在长时间下解的衰减速度与线性波方程的解的衰减速度一样的零条件后，对一个相对很大的整数s，Klainerman和Christodoulou在1986年分别独立证明了三维拟线性波方程的整体适定性理论。这个结果依赖于所有的Γ乘子（平移，空间旋转，双曲旋转和伸缩），并且解的高阶能量Hs可能会有一个关于时间的多项式增长。 尽管这个方法被大量地应用来证明解的整体适定性和导出解的生命跨度，但只有在考虑单波速的双曲方程时才能利用所有的Γ乘子，因为时空旋转这个算子不能很好的与其他类型方程交换。在接下来的文章[24，32，33，34，7]中，作者们开发了一套不利用双曲旋转算子的方法并且将其推广到各种双曲方程中。然而这些文章都利用两个不同阶的能量，低阶能量保持很小，而高阶能量可能会关于时间呈多项式增长。最近，王凡利用所有的Γ乘子得到了零条件下单波速波方程的能量一致有界性。但是，证明过程中强烈依赖Klainerman-Sobolev不等式和普通导数关于全部Γ向量场的好的分解来得到好的衰减。 在本文中，我们在既没有利用时空旋转算子也没有通过推导一组关于高阶和低阶能量的微分不等式的情况下，证明了Hs解的能量在s≥9时是一致有界的。我们的证明中应用了Klainerman和Sideris的推广的能量方法，并且利用加权L2估计和Alinhac引入的加权能量不等式。