【摘 要】
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本文主要研究以下三个内容:（1）Hom-李代数的Manin triples的推广:Hom-李代数的n-聚合Manin triples.（2）由拟三角Hom-r矩阵导出的Hom-泊松结构.（3）对合Hom-李代数的n-聚合Manin triples对应的混合扭曲Hom-李双代数.本文共六章,结构安排如下:第一章介绍了研究课题的背景和进展,给出了文章的主要结果和内容安排.第二章列举了所需要的基础知识,
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本文主要研究以下三个内容:（1）Hom-李代数的Manin triples的推广:Hom-李代数的n-聚合Manin triples.（2）由拟三角Hom-r矩阵导出的Hom-泊松结构.（3）对合Hom-李代数的n-聚合Manin triples对应的混合扭曲Hom-李双代数.本文共六章,结构安排如下:第一章介绍了研究课题的背景和进展,给出了文章的主要结果和内容安排.第二章列举了所需要的基础知识,术语和符号.第三章研究Hom-李代数的n-聚合Manin triples.首先从Hom-李代数的Lagrangian分解的定义出发推广了 u2=u⊕u上的二次Hom-李代数,证明了（u2,udiag,u’）是Hom-李代数的Manin triples.然后给出了 Hom-李代数的n-聚合Manin triples uΦn的定义,并对此构造了 3-聚合Manin triples的例子.最后通过做图的方法证明了uΦmn同构于（uΦm）n.第四章研究拟三角Hom-r矩阵和Hom-泊松结构.首先令Hom-李代数是对合的,研究了具有反对称部分和对称部分的拟三角Hom-r矩阵,并给出了它与Hom-Schouten括号的联系.重点证明了 Hom-经典Yang-Baxter映射和拟三角Hom-r矩阵的关系.然后令r=Λ+S,设其对称部分是Hom-ad不变的且S#是可逆的,证明了Λ#,（S#）-1和HCYB（r）#满足的等式.此外研究了 Modified Hom-Yang-Baxter 方程的算子形式,证明了R=Λ#（?）（kS#）-1 是一个 Modified Hom-Yang-B axter算子.最后通过Hom-李代数在流形M上的作用,得到了拟三角Hom-r矩阵导出的Hom-泊松结构.第五章研究二次double Hom-李代数,double Hom-李双代数和混合扭曲Hom-李双代数.首先证明了 Hom-李余代数的对偶空间上有一个Hom-李代数结构,进而得到了 Hom-李双代数的对偶Hom-李双代数.在Hom-李双代数是对合的情况下,证明了（?）=（?）⊕（?）*上可以构造一个二次Hom-李代数.还给出了二次double Hom-李代数的定义并讨论了例子.其次证明了二次double Hom-李代数可以导出一个拟三角Hom-李双代数,将其定义为double Hom-李双代数并研究了Hom-李代数的Manin triples和double Hom-李双代数的一一对应关系.然后给出了 Hom-李双代数的扭元的定义,证明了三个结论:（1）r+t是（（?）,[·,·]（?）,ad（r）,Φ（?）,r）的扭元且（（?）,[·,·]（?）,ad（r+t）,Φ（?）,r+t）是一个对合拟三角Hom-李双代数.（2）t=r（?）-r（?）21是直积Hom-李双代数（（?）’,[·,·]（?）’,△（?）’,Φ（?）’）的一个扭元.（3）直积Hom-李双代数（（?）’,[·,·]（?）’,Δ（?）’,Φ（?）’）的扭元-t=-r（?）+r（?）21导出的扭曲Hom-李双代数（（?）’,[·,·]（?）’,Δ（?）’,-t=Δ（?）’+ad（-t）,Φ（?）’）是 double Hom-李双代数（（?）,[·,·]（?）,Δ（?）,Φ（?））的对偶double Hom-李双代数.最后介绍了直积Hom-李双代数的混合扭元和混合扭曲Hom-李双代数的概念.并给出了对合Hom-李代数的n-聚合Manin triples对应的混合扭曲Hom-李双代数.第六章是前五章的主要结果总结和下一步的工作计划.
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