图的连通性是图论的重要组成部分,因此研究连通图的构造一直是图论研究的重要课题之一.连通图的可收缩和可去边的存在性对于研究连通图结构有着重要作用.本文以5-连通图和κ-连通图为对象讨论了连通图在最长圈,生成树,完美匹配上可收缩边的分布情况以及可去边的性质.本文主要针对以下三方面进行论述:首先,利用原子,断片的性质,证明了不包含特殊2-断片的5-连通图最长圈C上至少有6条可收缩边,进一步证明了若C中不存在包含5度点的3圈,C上至少有2条可收缩边;证明了不包含特殊2-断片的5-连通图生成树H上至少有6条可收缩边,得到E(H)(?)En(G)的一类5-连通图Hn;给出了不包含特殊2-断片若完美匹配边不在3圈内的5-连通图完美匹配M上至少有8条可收缩边,进一步证明了若g(G) > 4, M上至少有8条可收缩边.其次,研究了 κ-连通图可收缩边的分布,证明了若{x}(?)T点割且E(x)(?)En(G),则存在一点y,使d(y) =κ, y ∈∩ N(x).还给出了 κ-连通图最长圈,生成树和完美匹配上可收缩边更一般的下界.最后,研究了 κ-连通图可去边的性质,得到在满足最小度条件下κ-连通图生成树H上至少存在两条可去边.G的边点割原子阶至少为κκ - 3的κ-连通图,G[A]和G[S]上的边都是可去边.