时滞普遍存在于实际系统中,机器人系统、互联网系统、切削系统、钻井系统、数字控制系统、人机交互作用系统等等都涉及到时滞效应,并且对系统行为有重要的影响。研究时滞动力系统具有重要科学意义和工程需求。时滞动力系统通常可以分为滞后型和中立型两种,本文主要以中立型时滞动力系统的稳定性为研究对象。中立型时滞动力系统具有迥异于滞后型系统的动力学特性:强稳定性和弱稳定性。对于弱稳定的中立型动力系统,即使是渐近稳定的,也可能会因为时滞的任意小扰动而失去稳定性。弱稳定性系统关于时滞的鲁棒性极差,因此并没有实际意义。通常我们关心是强稳定性系统,此时充分小的时滞扰动并不足以改变系统的稳定性。本文在主要考虑强稳定性系统的基础上,也对弱稳定性进行了讨论。现有针对时滞动力系统的稳定性判据里,基于特征根分布的一类方法比较精细,可以准确地计算特征根、系统的参数稳定性等。对滞后型方程,基于辐角原理推导出的Mikhailov稳定性判别方法,可以计算出系统不稳定特征根的个数。与Mikhailov方法等价的无穷积分形式判别法,形式简单,不需要计算无穷积分的准确值,而只需要计算无穷积分的一个粗糙近似值即可准确判断稳定性,但是其积分区间并没有明确的选择方法,且不能直接推广到中立型系统。本文首先将此定积分形式的稳定性判别方法推广到中立型时滞动力系统,同时利用强稳定性条件将其进行简化,提高了计算效率。进一步地,本文完善了定积分判别法,提出两种准确选择积分区间的方法,分别适合确定性系统的稳定性判断、含参数系统的稳定性区域判断。定积分方法具有高效、适合计算机编程的特点,而且适用于多时滞系统。同时,本文应用定积分判别法提出了一种新的计算特征根的方法,在强稳定性条件满足的情况下,该方法可以一次性对主要的特征根,包括最大实部特征根进行计算。Nyquist图示法是一种直观的系统稳定性判别方法,主要用于参数固定的时滞动力系统。在某些情况下传统的Nyquist图示法会失效,本文针对失效情况对Nyquist方法进行了改进。在应用方面,本文首先研究了具有加速度时滞反馈的轮式倒立摆机器人。轮式倒立摆机器人是一种形式新颖、运动方式独特的机器人,它能实现原地转弯等运动,而且能效较高。轮式倒立摆机器人的倾角传感器往往采用陀螺仪或者陀螺仪与加速度计的组合,本文研究了其倾角传感器仅采用一个单轴加速度计的可能性,此时加速度计的输出由车身倾角和系统的加速度等变量耦合而成,因而受控系统是中立型的时滞系统。通过引入飞轮阻尼器,本文成功实现了轮式倒立摆机器人的姿态平衡控制,且保证了强稳定性,同时讨论了加速度计的放置位置、反馈回路时滞和控制增益等参数的选择。本文也对具有加速度时滞反馈的分数阶阻尼振子的稳定性进行了研究。分数阶阻尼振子的阻尼力由粘弹性材料产生,本文采用Scott-Blair模型描述阻尼,并使用加速度时滞反馈抑制振子的受迫振动,讨论了使受控系统稳定的时滞和反馈增益范围。同时,本文将定积分判别法从整数阶时滞动力系统系统推广到一类相当广泛的分数阶时滞动力系统,通过在特征函数表达式中引入一个比例因子,将不稳定特征根个数的计算公式统一起来,应用更加方便。本文也讨论了分数阶时滞动力系统的强稳定性和弱稳定性,给出了弱稳定分数阶时滞动力系统的数值算例。