常微分方程(组)的初值问题广泛出现在科学技术及经济等领域中，它们的数值求解已有许多好算法，比如差分法和有限元法。近年来，间断有限元法越来越受到学者们的关注，因为它不仅精度高，而且对解的光滑性要求较低。　　 本文研究一类具有强超收敛性的平均间断有限元，主要工作和创新点如下：　　 (1)对线性及非线性常微分方程初值问题，研究k次平均间断有限元，当k为偶数时，首次证明了在节点上的平均通量Usj=(U-j+U+j)/2(间断有限元在节点上的左右极限的平均值)，具有最高阶强超收敛性O(h2k+2).这是目前所知的所有有限元法中能得到的最高阶超收敛结果。1981年M.Delfour等数值计算发现了这一点，但是没有证明，此后一直无人证明。本文的数值试验也证实了这个最高阶超收敛结果，并且发现单元内部还有超收敛点。　　 (2)Hamilton系统是最重要的动力系统之一。Hamilton系统有三个重要性质：能量守恒、辛结构和周期解。对需要作长时间计算的问题，如何构造计算格式保持这些特性是非常重要的。对Hamilton系统，本文首次讨论平均间断有限元的长时间性质。数值试验表明：平均间断有限元的轨道偏离随时间线性增长(冯康猜想成立)，并且能量保持拟守恒(能量偏离不随时间增长)。　　 (3)对具有动量守恒的非线性Hamilton系统(如Kepler系统，常微及偏微Schrodinger方程组)，首次发现平均间断有限元在节点上是动量守恒的。以前的连续有限元具有能量守恒性；其它的间断有限元一般都不具有能量守恒性及动量守恒性。这些性质被数值试验所证实。