距离和夹角是几何学中的基本概念.在3维欧氏空间E³中,两个子空间的距离和夹角可以通过比较简单的计算求出来.但是在n维欧氏空间Eⁿ中,对于子空间的距离和夹角我们还没有一个比较系统的结论及证明过程.在本文中我们将通过代数与几何知识相结合的方法,计算出子空间的距离,并对夹角进行讨论:定义1（单形）设在n维欧氏空间Eⁿ里,已给n+1个点,它们不在维数小于n的线性空间里,我们引进以下的坐标系:取所给的n+1个点之一为原点O,则Eⁿ的每一点X都可以写成其余n个点x₁,x₂,…,x_n的线性组合其中a_i为实数,（1）坐标满足不等式:的点的集合叫做以O,x₁,x₂,…,x_n为顶点的n维单形.引理1设x₀,x₁,…,x_r是L_r中r+1个点,x₀是活动标架（x₀;e₁,…,e_r）的原点,L_r由点x₀和e₁,…,e_r决定,且如果用S来表示以L_r中的点x₀,x₁,…,x_r为顶点的单形的体积,则r!S=det(λ_ij).（3）又因为Hadwiger已证明了S=1/d×H×S′,（4）其中d是单形的维数,H是单形的高,S′是单形的底体积（见[6]）.由（3）式和（4）式我们可以得到r维单形的高为H=(det(λ_ij))/(det(λ_lm)),i,j=1,…,r;l,m=1,…,r-1.（5）定义2（仿射空间）设（?）为n维向量空间,以此空间为基础可决定仿射空间V如下:（1）.对于V的任意两点p,q（考虑顺序）,对应一个向量（?）,称之为从点p到q的向量;（2）.对于V的三点p,q,r,对p,q有V的（?）对q,r有V的（?）与之对应,则对p,r有（?）与之对应.换句话说:仿射空间就是一个向量空间,我们在其中引进线性变换-平移,从而忘掉0这个点的特殊性.如果在仿射空间里基本的向量空间是欧氏向量空间时,则此仿射空间为欧氏空间.注:在本文中,欧氏子空间简称为子空间.在E³中,我们已有两异面直线的距离表达式,即:引理2设L₁,L′₁是E³中的两条异面直线,设,则L₁和L′₁之间的距离为:现在我们把它推广到Eⁿ中:设L_p和L_q分别是n维欧氏空间Eⁿ中的p维和q维子空间若,我们把L_p和L_q之间的距离记为d（L_p,L_q）,如果平移L_q到L′_q,则L′_q与L_p相交于一点,记为x₀,L′_q与L_p相交后所在的空间记为L_p+q,它的维数是p+q.这时我们如果取一底面在L_p+q,顶点在L_q的p+q+1维单形,则单形的高H是垂直于底面的,即H⊥L_p+q,所以我们就有:H⊥L_p且H⊥L_q,即d（L_p,L_q）=H=(det(λ_ij))/(det(λ_lm))（7）其中i,j=1,…,p+q+1;l,m=1,…,p+q.然后利用Gram行列式的表达式得到定理1设L_p和L_q分别是n维欧氏空间Eⁿ中的p维和q维子空间,设是L_p的一个标架,是L_q的一个标架,则子空间L_p和L_q之间的距离为（8）周家足在[15]中给出了线性子空间夹角定义:设l_p+1,…,l_n是（?）_p的法空间N（（?）_p）的标准正交基,l′_q+1,…,l′_n是（?）_q的法空间N（（?）_q）的标准正交基我们把（?）_p和（?）_q之间的夹角定义为（10）且（11）引理3如果（?）_p和（?）_q都是n-1维的线性子空间,设θ为N（（?）_p）与N（（?）_q）之间的夹角,则△（（?）_p,（?）_q）=|sinθ|,显然0≤△≤1,（12）且当（13）当如果g是Eⁿ中的一个线性等距变换,则有△（g（?）_p,g（?）_q）=△（（?）_p,（?）_q）.若p≠n-1,q≠n-1,且p+q-n≥0,我们同样可以证明两线性子空间的夹角范围为0≤△≤1,且可以转换为证明以下代数定理,即定理2若,则:0≤|detA|≤1.（14）当时,|detA|=1;当时,|detA|=0.事实上,在定理2中,如果且其中i≠j,则△²=|det（A）_n×n|²即△=|det（A）_n×n|,从而得到定理3设（?）_p和（?）_q分别是p维和q维的线性子空间,且它们的维数满足p+q-n≥0,设（?）_p和（?）_q间的夹角为△,则0≤△≤1,（15）且当时,（16）当时,由定义2及定理3得到:推论设L_p和L_q分别是p维和q维的子空间,且它们的维数满足p+q-n≥0,设L_p和L_q间的夹角为△,则0≤△≤1,（17）且当时,（18）当时,又由（3）式知,d(λ_ij),（i,j=1,…,r）为r（≥3）维平行六面体的体积,所以由定理2还可以得到定理4设L为r（≥3）维平行六面体,设x₀为它的一个顶点,则顶点在x₀的边记为,记L的体积为V,若则0＜V≤1.（19）当时,V=1.特别地,当（?）,i=1,…,r是标准正交向量时,V=1.这时L为一r维单位立方体.全微分方程是方程的一个重要类型,研究它的一系列性质是非常有必要的,而利用方程的完全可积性是我们求解方程的重要工具.对于全微分方程来说,如果用其它的手段计算它完全可积的充要条件是非常复杂困难的,但如果我们利用Phaff方程组的Frobenius条件证明将很简洁,且可以把它推广到流形上.定义3（Frobenius条件）设L^r是流形M上的r维光滑分布.如果在任意一个坐标域U上,当L^r由处处线性无关的光滑切矢量场X₁,…,X_r张成时,[X_α,X_β]（1≤α,β≤r）都可以表成X_γ的线性组合,则称分布L^r适合Frobenius条件.引理4（Frobenius定理）设L^r是定义在M的一个开集U上的r维光滑分布,则对任意一点p∈U,存在点p的局部坐标系（W;ωⁱ）,W（?）U,使得（20）成立的充分必要条件是L^r适合Frobenius条件.设在M上任意一点的邻域内,存在n-r个线性无关的一次微分式ω_r+1,…,ω_n,它们在该邻域上的每一点p张成零化子空间（L^r（p））⊥,即（L^r（p））^⊥=span{ω_r+1,…,ω_n}.因此,在局部上L^r等价于方程组ω_s=0,r+1≤s≤n,（21）此方程组称为Phaff方程组.因为（22）所以,分布L^r=span{X₁,…,X_r)适合Frobenius条件,即（23）的充分必要条件是（24）且上式等价于（25）（25）式即为Phaff方程组（21）所适合的Frobenius条件.因此,引理4（Frobenius定理）可以改述为引理5 Phaff方程组完全可积的充要条件是（26）因此,Phaff形式ω_α=0（1≤α≤r）完全可积的充要条件是dω_α∧ω_α=0.Phaff形式完全可积的充要条件应用到E³中,即（见[5]）引理6 3维欧氏空间E³中全微分方程（27）（f_i为光滑函数）,完全可积的充要条件是（28）把引理6推广到Eⁿ中,我们得到定理5设f_i（i=1,…,n）为Eⁿ中的光滑函数,则全微分方程完全可积的充分必要条件是:（29）其中,1≤i＜j＜k≤n.显然,当n=3时,（29）式即为（28）式,定理5即引理6_因为在一个紧致光滑流形上存在有限个单位分解,而在局部欧氏空间上也成立,所以流形是局部欧氏空间,因此定理5可推广到流形上,即:定理6设M为n维光滑流形,f_i（i=1,…,n）为流形M上的可微函数,则在M的任一邻域U上的全微分方程完全可积的充分必要条件是:在U上,对任意的1≤i＜j＜k≤n,