求解大规模非对称矩阵特征值问题的一些数值算法 求解大规模特征值问题是当今科学与工程计算界的热点之一。最近一、二十年来，在大型非对称矩阵特征值问题的数值求解方面已经取得了巨大的进展。但是，仍然有一些问题没有得到彻底的解决。正因为如此，本文在如下方面做了一些工作： 在第一章中介绍了大规模矩阵问题的来源，解决这类问题的一些常用数值方法，并对本学科的发展状况作了简要回顾。 ABLE方法可以用于同时求解大规模非对称矩阵的特征值及其相应的左、右特征向量。可是，本文第二章中的收敛性分析表明它存在着即使求解子空间中含有比较好的特征信息，Ritz向量仍有可能不收敛的缺点。为此，在第二章中提出两种近似精化ABLE方法，它们分别采用拟精化向量和半精化向量来作为新的近似特征向量。由于受到存储量、计算量等因素的限制，在实际应用中往往需要采取重开始技术。因此，将一种由Morgan所提出的稠密重新启动技术推广到新方法中来，给出了一种动态稠密重新启动的半精化ABLE算法。我们分析了新近似特征向量的收敛性及它们同Ritz向量之间的关系，以及近似精化投影方法与经典的斜投影方法之间的联系，结论表明新方法在一定程度上能够克服原方法所存在的缺陷。数值算例表明了新算法的优越性。 位移求逆Arnoldi方法是计算大型非对称矩阵束在给定位移点附近的少数特征值及其相应的特征向量的一种常用方法。可是，理论分析表明此方法得到的Ritz向量的收敛性在理论上不能得到保证，因此，有必要寻找新的近似特征向量来替代Ritz向量。为此，在第3章中我们提出一种新策略对经典方法进行改进，通过它得到的近似特征向量的收敛性不但在理论上可以得到保证，而且该向量在某种程度上还利用到了定义Ritz向量和精化向量时“浪费掉了的”子空间span{v_m+1}中的有用信息，因此当求解子空间的维数m相对比较小的时候，新方法会是一个不错的选择，数值算例表明了新算法的有效性。 经典的块Arnoldi方法所得到的Ritz向量可能并不是特征向量的好的近似，而且经典算法有可能收敛得很慢甚至于不收敛。为了改进Ritz向量的性能，在第四章中我们将Jia和Elsner的一种策略推广到块Arnoldi情形。在新方法中，用Ritz向量和块Amojdi过程所产生的第（7n十1）个块基向量珠十，的某种线性组合作为新的近似特征向量。实际上，新向量是由Ritz向量和蛛十1的列张成的（p+l）一维子空间中的精化向量。新算法不仅在理论和实际计算中优于7n一步的块Arnoldi算法，而且比标准的（7n+l）一步块Amoldi算法所需的运算量少。我们还给出了新近似特征对的残量范数与Ritz对所对应的残量范数之间的关系，并分析了新方法的收敛性，结论表明新方法能够在某种程度上克服经典方法存在的缺点。数值算例表明，新算法通常要比经典算法优越。