本文利用非线性泛函分析中的拓扑度方法，主要研究了非线性三阶微分方程及方程组变号解的存在性与多重性，得到了一些新的结论。全文共分两章。 利用Leray-Schauder拓扑度理论，证明了一个新的不动点定理，即(H<,1>)f(t，x<,0>，x<,1>，x<,2>)=g(t，x<,0>，x<,1>，x<,2>)+α(t)；(H<,2>)f(t，x<,0>，x<,1>，x<,1>)=b(t)h(t，x<,0>，x<,1>，x<,2>)。定理(1):如果f满足(H<,1>)，并且下列条件成立，则问题(1.3.1)在c<3>[t<,1>，t<,3>]中至少存在一个变号解。存在常数μ，使得d<,μ>=dist(u<,μ>,-P∪p)>0。定理(2):如果f满足(H<,1>)，并且下列条件成立，则问题(1.3.1)在C3>[t<,1>,t<,3>]中至少存在一个变号解。存在常数μ，使得d<,μ>=dist(u<,μ>-P∪P)>0。定理(3):如果f满足(H<,2>)，并且下列条件成立，则问题(1)在C<3>[t<,1>，t<,3]中至少存在一个变号解。存在常数μ≠0，使得d<,μ>=dist(v<,μ>-P∪P)>0。定理(4):假设(H1)-(H3)成立，那么至少存在两个变号解、两个正解及两个负解。其次，借助于不动点指数理论，利用延拓正解的方法，研究了三阶边。