自E.A.Norldaus，B.M.Stewart和A.T.White[1]等人于上世纪70年代初提出图的最大亏格概念以来，先后有许多图论学者都投身于这一拓扑参数的研究．由于N.H.Xuong[2]，Y.P.Liu[3]等于上个世纪70年代末分别独立地给出了刻画图的最大亏格的表示定理和L.Nebesky[4]于上个世纪80年代初又给出了图的最大亏格的另一种对偶形式的刻画，因此关于图的最大亏格的研究取得了很重要的进步．上世纪90年代末，黄元秋的博士论文[5]对图的最大亏格进行了系统地研究及简化.目前，对于图的最大亏格研究主要集中在2个方面，一方面：希望能确定一些上可嵌入图类，即其最大亏格可取得最好的上界[β(G)/2]；另一方面：希望得到一些非上可嵌入图类的由图的其它参数表示的最大亏格下界.本文主要从以上两方面进一步研究图的最大亏格，得到了一些新的上可嵌入图类，及一些图类的最大亏格较好的下界，推广了相关结果.本文的主要结果如下： (1)若G为2-边连通简单图，且满足以下条件之一： (a)α(G)≤2； (b)α(G)≥3，且对于任何彼此不相邻的三个顶点vi(i=1，2，3)都有 3∑i=1dG(vi) ≥|V(G)|-3g(G)+7,则G是上可嵌入的，其中下界“V|(G)|-3g(G)+7”是最好的．对于3-边连通图也有类似的结果．这推广了。Y.C.Chen[6]的结果. (2)设G为k-边连通图，满足： a(G)≤((k-1)2+2[g(G)/2]+1+(-1)(g(G)+1)/2((k-1)(k-2)+1)-1其中k=1，2，3，则G是上可嵌入的．且不等式的上界是最好的．这推广了Y.C.Chen[7]的结果． (3)设G为k-边连通简单图，若对G中任意圈C，存在点x∈C满足： dG(x)>|V(G)|/[(k-1)2+2]+k-g(G)+2,k=1,2,3,则G是上可嵌入的．且不等式的下界是最好的．关于这方面的结果，目前尚属首次． (4)设G是简单连通图，则ξ(G)≤α(G)/[ g(G)/2]，进而得到了最大亏格γM(G)的一个比较好的下界．改进了Y.Q.Huang[8]的结果．