扰动理论是由L.Rayleigh和E.Schr(o)dinger创立的.Rayleigh[1]在研究振动系统受到微小扰动的情况时，给出了计算扰动后系统固有频率的公式.在数学上，这种方法可以理解为利用扰动前算子的较简单的线性算子特征值问题的解，求得扰动后算子特征值问题的近似解.E.Schr(o)dinger[2]发展了类似的方法，深入地研究了量子力学中遇到的特征值问题.后来，F.Rellich，J.D.Newburgh，F.Wolf，T.Kato和B.Simon等发展了线性算子扰动理论，详见文献[3-7].　　 对于微分算子的扰动问题，已经有很多学者作了研究，并得到了一些比较好的结果.1987年，J.Weidmann[8]研究了奇异二阶微分算子加上相对有界且界小于1的扰动算子后，其极限型不变.1997年，T.G.Anderson和D.B.Hinton[9]研究了二阶常微分算子的扰动算子相对其有界且相对其紧的充分必要条件.1998年，T.G.Anderson[10]给出了某一类n阶微分算子的扰动算子相对其有界且相对其紧的充分必要条件.　　 对于差分算子的扰动问题，也有很多学者作了研究.2003年，J.Chen和Y.Shi[11]研究了当二阶对称差分算子的权函数为1，势函数加上有界常扰动后，其极限型不变.2012年，Z.Zheng[12]给出了离散线性哈密顿系统的权函数不变，势函数加上有界扰动后最大亏指数和最小亏指数不变.然而，当研究差分算子的扰动问题时，发现一般情况下奇异差分方程的最小算子是非稠定的和多值的，最大算子是多值的，故不能直接利用经典的对称算子扰动理论进行研究.为了解决这些问题，Arens，Coddington，Lesch，Malamud等学者成功地将稠定的Hermite算子的概念和相关理论推广到Hermite子空间[13-24].2012年，Y.Shi将经典的GKN理论推广到Hermite子空间[25]，并在此基础上与H.Sun合作给出了二阶形式自伴差分方程自伴子空间扩张的全部刻画[26].最近，Y.Shi、C.Shao、G.Ren和Y.Liu对自伴子空间谱和预解算子的性质进行了研究[27-28]，这为差分算子扰动问题的研究奠定了基础.　　 本文主要研究微扰之下厄密子空间亏指数与谱的不变性，及其在二阶对称差分方程和离散线性哈密顿系统中的应用.本文分为三章.　　 第一章共分三节.第一节是引言部分.第二节主要介绍了子空间的基本概念与相关理论.引入了子空间相对有界和本质自伴子空间的概念及有关结果.在此基础上，我们给出了判定本质自伴子空间的充要条件.第三节主要介绍了判定受扰情况下Hermite子空间亏指数不变和非自伴闭Hermite子空间谱不变的充分条件，以及自伴子空间有纯离散谱的几个充要条件.同时，我们还给出了半有界自伴子空间的最大最小原理，以及使得扰动下半有界自伴子空间只有纯离散谱的充分条件.　　 第二章共分四节.第一节是引言部分.第二节主要介绍了二阶对称线性差分方程的一些基本结果.第三节给出了二阶对称线性差分方程的Green函数，并利用它证明了二阶差分方程最小子空间的任意自伴子空间扩张有纯离散谱.第四节利用第一章中所证明的定理研究二阶差分方程的系数作怎样的扰动可使其亏指数不变.根据由简入难的方法，首先研究当权函数不变且为1时，首项系数和势函数的扰动情况;然后研究首先系数和势函数不变，权函数的扰动情况;最后研究三项同时作扰动的情况.　　 第三章共分四节.第一节是引言部分.第二节主要介绍了离散线性Hamilton系统的一些基本结果.第三节推导出了离散线性Hamilton系统的Green函数，并利用它证明了离散线性Hamilton系统最小子空间的任意自伴子空间扩张有纯离散谱.第四节主要研究了权函数不变，势函数作怎样的扰动可使离散线性Hamilton系统的亏指数不变.特别地，我们还给出了权函数和势函数同时扰动，可使得离散线性Hamilton系统极限型不变的充分条件.