多年来，微分方程数值解法一直与数值逼近、数值线性代数鼎足三分．近年来由于计算机技术的蓬勃发展，更使得这门学科日趋重要．微分方程的解在数学意义上存在性可以在非常一般的条件下得到证明，这已有了许多重要的结论．但从实际应用上来讲，人们需要的往往并不是解在数学上的存在性，而是在我们所关心的某个定义范围内，对应于某些特定的自变量的解的取值或是近似值——这样一组数值称为这个微分方程在该范围内的数值解，寻找数值解的过程称为数值求解微分方程．用数值方法求解微分方程问题几乎是与微分方程一同出现的，其历史可追溯到约一个半世纪之前．　　 数值求解方法是求一个个离散点处的未知函数值，那么首先就要把整个定义域分成若干个小块，以便对每个小块上的点或片求出近似值，这样按一定规律对定义域进行剖分，剖分完毕后，依据原来的微分方程去形成关于这些离散点或片的函数值的递推公式或方程．这时它们的未知量已不再是一个连续函数，而是成了若干个离散的未知值的某种函数组合，这个步骤就是微分方程的离散．离散的系统若是一个递推公式，那么它需要若干个初值才能计算；若是一个方程组，那么它所含的方程个数一般少于未知量的个数，想求解还需要补充若干个方程．这些需要补充的初值和方程往往可以通过微分方程的初始条件和边界条件得到．　　 对于离散系统，我们主要研究的是这个系统是否可解，即解的存在性、唯一性问题．它与精确解的差距有多大，研究差距当区域剖分的尺度趋于零时是否也会趋于零，趋于零的速度有多快，即解的收敛性和收敛速度问题．当外界对数据有所干扰时，所得的解是否会严重背离离散系统的固有的解，即解的稳定性问题．在本论文中，我们主要研究四类微分方程，每一类问题在实际应用中都有相应的模型．对每一类微分方程我们提出解决的算法，对于导出的算法，我们研究上面所提到的一系列问题．　　 本文主要研究了四类微分方程：障碍问题，二相Stefan类型问题，二阶非线性常微分边值问题和双调和方程．　　 在第二章中，主要讨论利用变分不等式解决障碍问题模型的偏微分方程．首先介绍了变分等式、变分不等式、第一类和第二类变分不等式、互补性问题、牛顿迭代、障碍问题的背景以及研究现状等．然后构造出解决障碍问题的几类离散方程的迭代算法，构造出的迭代算法具有单调性并一致收敛到障碍问题的数值解．主要结果有：定理0.0.1．对于初值u(0)i，j∈(Ω)h，边界点(i，j)∈()Ωh，满足u(0)i，j=0．则对于(2.37)的解具有单调性：u(m+1)ij≥u(m)ij，(i，j)∈Ωh，m=0，1，2，…．并且当m→∞，u(m)ij→uij，其中uij是问题(2.44)的解．　　 在第三章中，讨论了二相Stefan类型问题，即退化抛物型初边值问题的两类算法．首先介绍了Uzawa算法、预条件Uzawa算法、非准确uzawa算法、退化抛物型初边值问题的研究现状：退化抛物型初边值问题可等价写成第二类椭圆变分不等式：找到u=(u1，u2，…，un)T∈R”，满足对于这个变分不等式，构造了一类标准的Uzawa算法，在这个算法的基础上，我们又提出了改进的Uzawa算法．我们分别对两种算法进行了收敛性和收敛速度分析，对于改进后的Uzawa算法，我们得到：定理0.0.2．假设有限元三角剖分是拟一致的，则存在一个与时间步长参数τ和空间步长参数h无关的常数c0＞0，满足：因此，若τh—2保持有界，则算法3.4.5的最佳收敛率是一致有界的，且远小于1．　　 在这章的后半部分，我们给出了一类松弛算法解退化抛物型初边值问题，并给出误差估计、收敛性以及收敛速度证明．　　 在最后一章，我们主要研究了另外二类微分方程数值计算方法，即二阶非线性两点边值问题和双调和方程．　　 首先介绍了二阶非线性两点边值问题的背景、分类以及目前的研究现状，Padé逼近方法，然后提出了解决一类二阶非线性两点边值问题的算法：对称紧致有限差分方法．这类算法随着不同m的取值，可以推导出不同精度的算法，并给出了误差分析及数值算例．主要结果有：定理0.0.3．假设y(t)是方程(4.3)的精确解，yk是方法Ⅰ(4.11)的解，函数f(t，y)关于y满足李普希茨条件(4.14)，其中L＜1/(b—a)2．设εk=y(tk)—yk，则对于方法Ⅰ，我们有下面的误差估计。　　 对于双调和方程，介绍了目前双调和方程的背景以及研究现状．利用有限差分与有限元的关系，给出了一类二维紧致有限差分方法的误差估计，最后讨论了一类三维双调和方程的有限差分方法。