相对差集和差集的概念是从组合设计的研究中提出的，差集的存在性等价于有正则自同构群的对称设计的存在性，而相对差集则对应于可分设计.可分设计在Dembowski等人关于有限射影平面的研究中起到很重要的作用.相对差集还可用来构造Hadamard矩阵和广义Hadamard矩阵，用来构造具有好的自相关性的序列.完美非线性映射对应于一类特殊的相对差集，在密码学中用于构造具有好的抗差分攻击特性的S-box. 乘子的概念最早是由M.Hall，Jr.在1947年提出的，在研究满足(v，n)=1的差集时十分有用.乘子猜想是代数设计理论中的一个著名猜想，已经有半个多世纪的历史.在研究这个猜想的过程中。出现了很多乘子定理. 用群表示论和特征标理论来研究差集的方法最早是由Turyn等引入的，这种方法后来在代数组合论的其它方面也有广泛的应用，成为这一领域的基本方法之一.代数数论方法，尤其是利用素理想分解的方法，也是最基本的方法之一.另一个基本的工具是群环.在本论文中。我们将利用这些工具来研究半正则相对差集和乘子猜想. 在第一章中，我们引入基本的概念和符号，并且介绍研究背景和本文的主要结果. 在第二章和第三章中，我们研究非素数幂阶群中的半正则相对差集.我们构造了一族参数为(4q，q，4q，4)的非交换相对差集，其中q是一个比9大的奇素数幂，q≡1(mod4).当q=p是个素数，这时构造的相对差集是genuinelynonabelian的，即不存在相同参数的交换相对差集.据我们所知，这是第一族参数形如(m，n，m，m，m/n)的genuinelynon-abelian相对差集，其中n＞2.此外，我们采用一种考察有限域IFp上的群环的方法考虑了参数为(pn，p，pn，n)的交换相对差集，其中p是不整除n的素数，并构造了参数为(q(q+1)，q，q(q+1)，q+1)的交换相对差集，其中q是个Mersenne素数.这里构造的两族相对差集参数都是新的. 在第四章中，对一个素数p，我们利用Galois环的结构构造了从Znp2到Zp2的完美非线性映射，其中n≥p，或n＜p且n是合数的和.从而当n≥12，对任意素数P存在从Znp2到Zp2的完美非线性映射. 在第五章中，我们引入新的方法来研究n=5n1时的乘子猜想.我们证明当D是交换群G中的(v,κ，λ)差集，满足(v,31)=1，n=5pr，P是不整除v的素数，r＞0，则P是D的乘子.当31｜v，我们刻划了P不是其乘子的差集,并得到对其参数的限制.目前还不清楚这样的差集是否存在.