【摘 要】
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偏微分方程最优控制问题在物理学、空气动力学、化工产业等领域都有着广泛应用,比如产品的有效冷却系统、航空工业产品最优形状设计、油田二次注水优化开采等.许多可用偏微分方程描述的自然现象会受到不确定因素的影响,我们需要将这些不确定因素考虑进去,因此就有了随机偏微分方程及其最优控制问题.一般来说很难求出这些问题的解析解,故高效的数值求解方法对于它们的成功应用至关重要.本文主要研究随机偏微分方程及其最优控制
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偏微分方程最优控制问题在物理学、空气动力学、化工产业等领域都有着广泛应用,比如产品的有效冷却系统、航空工业产品最优形状设计、油田二次注水优化开采等.许多可用偏微分方程描述的自然现象会受到不确定因素的影响,我们需要将这些不确定因素考虑进去,因此就有了随机偏微分方程及其最优控制问题.一般来说很难求出这些问题的解析解,故高效的数值求解方法对于它们的成功应用至关重要.本文主要研究随机偏微分方程及其最优控制问题的随机Galerkin张量多项式方法、随机Galerkin径向基函数方法和Monte Carlo方法,并对随机变量服从均匀分布和非均匀分布的情形都加以讨论,主要内容有:在第一章中,我们介绍随机偏微分方程及其最优控制问题的研究现状及经典数值求解方法的优缺点.在第二章中,我们研究具有随机场系数椭圆方程的高效数值求解方法,构建随机Galerkin张量多项式方法、随机Galerkin径向基函数方法和Monte Carlo方法的求解格式,通过大量数值算例验证所采用方法的有效性,并展示随机Galerkin径向基函数方法的诸多优势.算例1展示随机变量服从均匀分布和Beta分布时分别使用张量多项式和径向基函数求解随机椭圆方程的效果,结果表明径向基函数方法在高维问题的求解上具有更多的优势.算例2分别运用随机Galerkin径向基函数方法和Monte Carlo方法计算随机椭圆方程解的期望及方差,结果表明径向基函数方法精度远比Monte Carlo方法的精度要高,可以大大减少计算量.在第三章中,我们研究具有随机场系数椭圆方程最优控制问题的高效数值求解方法.构建随机Galerkin张量多项式逼近格式,证明先验误差估计;给出随机Galerkin径向基函数求解格式和先验误差估计.利用梯度投影算法,对随机变量服从不同分布的情形进行大量数值实验,验证所采用方法的有效性,展示随机Galerkin径向基函数方法在求解该类问题上的优势.
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