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重分形分析是动力系统维数理论研究的主要内容之一,其目的是描述奇怪吸引子上物理测度的多标度行为.近年来,重分形分析被扩展到至少两个不同的方面:一是研究更一般的重分形谱,二是研究发散点集合的维数特征.
本文讨论动力系统中广义局部熵的重分形谱.这里的广义局部熵是指局部熵、局部Poincaré回归时间维数、局部Poincaré回归时间熵等.我们将动力系统维数理论应用于分形几何问题的研究,考察广义局部熵的重分形分解.利用动力系统的其他维数特征,我们得到了广义局部熵重分形分解的几个结论.
论文的结构安排如下.前言介绍了重分形分析的发展历史及研究现状,同时给出了论文的研究目的及结论.第一章介绍了动力系统中的一些基本概念和前人的研究成果.第二章从三个方面考察局部熵的重分形分析.首先,对不变测度建立了高维形式的重分形分析,即考察与多维参数相关联的重分形分解.利用非紧集或非不变集的高维(q1,q2,μ1,μ2)-熵,给出了局部熵的高维重分形谱的一个关系式.其次,利用动力系统的其他维数特征,得到了局部熵高维重分形谱的三个上界估计.同时,我们考察了局部熵重分形谱的定义域.第三,给出了非紧或非不变集合(q,μ,φ)-拓扑压的定义,利用非紧或非不变集合(q,μ,φ)-拓扑压,给出了局部熵重分形谱的一个关系式.第三章考察局部Poincaré回归时间维数的重分形分解,得到了局部Poincaré回归时间维数的Hausdorff维数重分形谱的上界估计.第四章考察局部Poincaré回归时间熵的重分形分解.利用动力系统的维数特征给出了回归时间熵重分形谱的两个结果.