界面问题在实际生活和生产中有广泛的应用,例如热传导,石油开采,电磁波传播,心脏血液流动,地下水污染问题等。这些实际的界面问题通常能被抽象为耦合的偏微分方程组模型。这些偏微分方程不仅含有不连续的物理系数,而且在界面处还需满足某些特殊的界面条件。四十多年来,有关求解界面问题数值方法的研究越来越受到关注,并涌现了大量的文献。本文在非贴体网格剖分下,采用Nitsche扩展有限元方法求解界面问题,设计求解界面问题的准确有效的数值离散格式,给出相应的稳定性分析和最优误差估计。第一章,我们简单介绍界面问题的背景,回顾求解界面问题已有的有限元方法,分析其优劣,并引入本文主要研究的新的Nitsche扩展有限元方法。在章节的最后,给出本文理论分析中所需要的Sobolev空间以及离散空间中一些基本概念以及定理,并定义一些必要的符号。第二章,我们提出非协调-P1 Nitsche扩展有限元方法,并将其应用于椭圆界面问题中,得到在L2以及加权H1范数意义下的最优误差估计。为修复扩展有限元破坏解在界面处的连续性问题,我们在离散格式中添加了定义在界面处的稳定项,保证了离散格式的强制性。同时,定义在界面单元部分边上的稳定项,实现了收敛结果与界面相对于网格的位置无关。离散格式中特殊定义的权函数,使得结论关于扩散系数一致。数值实验验证了理论结果。第三章,非协调-P1/P0混合Nitsche扩展有限元方法被成功应用于Stokes界面问题中。通过新定义的离散双线性格式,即使解的全局正则性很低,inf-sup条件的稳定性以及最优先验误差估计的结论都得到证明。证明显示,所有结果均独立于间断的粘性系数。我们还证明了刚度矩阵的条件数与界面相对于网格的位置无关,定义在界面单元部分边上的稳定项克服了扩展有限元方法带来的坏条件数问题。数值实验验证了理论结果。第四章,针对三维H（curl）-椭圆界面问题,我们应用H（curl）-协调Nitsche扩展有限元方法离散求解。该扩展有限元空间的构造基于第二类最低阶棱边元空间。在该空间离散下,理论证明了新的数值逼近格式稳定,具有最优误差阶,且结论均与物理参数、界面相对于网格的位置关系无关。数值实验验证了理论结果。第五章,给出本文的结论,并对未来工作做展望。