研究多项式自同构对于仿射代数几何有着非常重要的意义.而与多项式自同构密切相关的Jacobi猜测,自被提出以来就一直受到学者们的密切关注.在对这个问题进行研究的过程中,学者们不断地提出新思想,新问题,新方法,不仅促进了相关研究领域的融合,而且对多项式自同构的研究起着强有力的推动作用.令K是一个域,X=（X1….,Xn）,K[X]表示关于变量X1….,Xn的多项式环.设Fi∈K[X],则F=（F1,,Fm）：Kn→Km定义了一个多项式映射,满足设G：Km→Kr是一个多项式映射,定义为多项式映射的复合.进一步若GοF=FοG=X,则称F是域Kn上的自同构,或者F可逆.Jacobi猜测JC（K,n）设K是特征为零的域.若多项式映射F=（F1,,Fn）满足det JF∈K*,则F可逆.Jacobi猜测从被提出到现在,一直悬而未决.大部分结果集中在对猜测进行等价约化和研究特殊的多项式自同构两方面.在第一章中我们系统地综述了有关Jacobi猜测的已有研究成果.在第二章中我们利用齐次化方法和Gorni-Zamperi对建立了一般的多项式映射和d次线性幂映射的关系,从而给出了一个多项式映射是单射的充要条件,进而得到了多项式映射是多项式自同构的充要条件.首先我们证明了存在ri,使得定理2.2.2设F是多项式映射,并且degF≤4.则F是可逆的当且仅当对于任意的互不相同的α,β∈Cn,均有定理2.2.3设F是一个d次多项式映射,则F是多项式自同构当且仅当对于所有的口和非零的γ∈Cn,均有接下来我们给出了X-Y的合冲基,即集合sys（X-Y）={ri,j|1≤i<j≤m},其中ri,j,=（0,,0,Yj-Xj,0,,0,Xi-Yi,0,,0）.令SYS（X-Y）表示由sys（X-Y）生成的合冲模.设矩阵M（X,Y）满足F（X）-F（Y）=M（X,Y）（X-Y）给定一个矩阵A,记Ai表示矩阵A的第i行.定理2.4.2多项式映射F是多项式自同构当且仅当存在矩阵N（X,Y）,使得对于任意的1≤i≤n,最终给出了一个用合冲模表示的Jacobi猜测的等价猜测：猜测2.5设多项式映射F满足det JF∈C*,则存在矩阵M（X,Y）,N（X,Y）,使得（1）F（X）-F（Y）=M（X,Y）（X-Y）；（2）（N（X,Y）M（X,Y）-I）i∈SYS（X-Y）.在第三章中我们利用导数在直线上的性质刻画了一类特殊的多项式映射.定理3.1.6设多项式映射F：Cn→Cm满足deg F≤d,并设β,γ∈Cn.那么下面的三条陈述等价：（1）存在一组数λ1,λ2,,λd-1∈C,使得对于任意的非空子集I（?）{1,2,,d-1},均有∑i∈I,λi≠0,并且（2）F|β+Cγ是线性可求长的,也就是说存在向量v∈Cm使得（3）对于任意的s∈N,以及满足λ1+λ2+…+λs≠0的任意的λi∈C均有：定理3.3.9对于多项式映射F：Cn→Cn,下列叙述等价：（1）对于任意的αi∈Cn,∑i=1（JF）|αi可逆；（2）F=L。（X+H）,其中H没有线性项,F的线性项L是可逆的并且JH是可加幂零的;（3）F=（X+H）。L,其中H没有线性项,F的线性项L是可逆的并且JH是可加幂零的;（4）F=L1。（X+H）。L2,其中L1和L2是可逆的线性映射,并且JH是可加幂零的.最后给出了检验赋值Jacobi矩阵之和可逆的多项式映射的数值算法.在第四章中我们讨论了形如F=X+（AX）（3）:C5→C6的多项式映射的结构,给出了下面的定理：定理4.1.1设多项式自同构F=X+（AX）（3）:C6→C6,则存在T∈Gl6（C）使得其中B是上三角矩阵,并且对角线元素均为零.最后确定了矩阵B的元素之间的关系,并给出了Maple程序.