【摘 要】
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第一章为以后的需要我们引入C-C空间和其特殊情形：次Riemann群和Heisenberg群。 第二章有四个目标：一是讨论H-Caccioppoli集的若干几何性质，二是刻画H-有界变差函数的近似不连续点集和跳跃点集的特征，三是研究u∈BVH（Ω）的逐点行为，我们集中讨论u在Pansu意义下的近似可微性，最后也是最重要的目标我们证明对u∈BVH（Ω），DHu作为Radon测度能够分解成绝对连
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第一章为以后的需要我们引入C-C空间和其特殊情形：次Riemann群和Heisenberg群。 第二章有四个目标：一是讨论H-Caccioppoli集的若干几何性质，二是刻画H-有界变差函数的近似不连续点集和跳跃点集的特征，三是研究u∈BVH（Ω）的逐点行为，我们集中讨论u在Pansu意义下的近似可微性，最后也是最重要的目标我们证明对u∈BVH（Ω），DHu作为Radon测度能够分解成绝对连续部分、跳跃部分和Cantor部分之和。 第三章我们先讨论Heisenberg群Hn上有界变差函数和特殊有界变差函数的弱导数作为Radon测度的若干重要分布特征。其次讨论Heisenberg群上有界变差函数与Lipschitz函数的复合行为以刻画特殊有界变差函数。再次，通过建立SBVH函数的判据，我们证明BVH空间和SBVH空间的紧性定理。 第四章我们研究一类泛函，I（u）=∫Ωf（x，u，Lu）dx的下半连续性，其中f是定义在Hn×R×R2n上的Carathéodory函数，u∈SBVH（Ω），Lu为DHu的绝对连续部分▽Hαu的近似导数。 第五章我们提出了Hn上的一类与偏微分方程和极小曲面联系十分紧密的自由不连续问题。具体说，我们研究如下泛函的极小化子（K，u）的存在性和唯一性：其中，K变化于Hn的闭子集族中，u变化于CH~1（Ω＼K）中，f：R2n→R固定且为满足5．1节中（A1）（A2）（A3）的凸函数。与欧氏空间不同的是，在（5．1．1）中我们使用的是球面Hausdorff测度SdQ-1而非Hausdorff测度Hd2n+1，因为Heisenberg群固有的球面Hausdorff测度SdQ-1出现在BVH函数的导数分解式（2.6.34）中，并且目前还不清楚SdQ-1是否等于Hausdorff测度Hd2n+1乘以一个几何常数。通常变分的直接方法不易用于求解（0.0.1）。原因之一在于不存在关于闭集的拓扑能够保证极小化序列的紧性和SdQ-1的下半连续性。2为避免这一困难我们引入松弛泛函 下(·，:一五:，（L·卜。（U一。）q}“·+“邓一“又，一任SB冷‘几，，‘0·O·2）对此泛函运用SB冷紧性定理，我们得到其绝对极小化子的存在性.基于此，我们能够处理（0.0.1）的极小化子(K，司.与此同时我们还得到解的若干正则性结果.
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