本文主要应用变分方法研究了几类带临界指数的椭圆型方程及方程组.　　本文共分四章:　　在第一章中，我们主要概述了本文所研究问题的背景及研究现状，并简要介绍了本文的主要工作，相关的预备知识和一些记号.　　在第二章中，我们考虑了Dirichlet边值条件下与Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式有关的一类奇异椭圆型方程-div(|x|-2a▽u）-μu/|x|2(1+a)=|u|p-2u/|x|bp+λu/|x|dD.一方面，应用Ljusternik-Schnirelaman理论及Pohozaev型恒等式，我们分别证明了上述方程变号解的存在性及非存在性;另一方面，运用变分方法和Nehari流形，在参数μ和λ满足适当条件下，我们得到了上述方程极小能量变号解的存在性，特别地，我们的结果将有关变号解的存在性结果推广到了N=5维和N=6维的情形.　　在第三章中，我们研究了带Sobolev临界指数的非线性Schr(o)dinger方程组{-△u+u=u2*-1+βu2*/2-1v2*/2+λ1uα-1, x∈RN,-△v+v=v2*-1+βu2*/2v2*/2-1+λ2vr-1， x∈RN，u，v＞0， x∈RN，其中N≥5，λ1，λ2＞0，β≠0，2＜α，r＜2*，2*(∶)=2N/N-2.应用山路引理，Ekeland变分原理及Nehari流形，我们证明了当β∈(0，+∞)∪[-1，0）时，上述方程组存在球对称正解.　　在第四章中，我们研究了带Sobolev临界指数的椭圆型方程组{-△u=|u|2*-2u+α/2*|u|α-2|v|βu，x∈Ω，-△v=|v|2*-2v+β/2*|u|α|v|β-2v, x∈Ω，其中α，β＞1，α+β=2*(∶)=2N/N-2(N≥3)，Ω=RN或Ω为RN中的有界光滑区域.一方面，当Ω=RN时，在α，β，N满足一定条件下，我们证明了上述方程组极小能量解的唯一性及其某种形式的解流形的非退化性;另一方面，当Ω为RN中的有界光滑区域时，我们首先建立了一个全局紧性结果，之后应用全局紧性结果，我们将Coron[30]中关于带临界指数的单个方程在非平凡拓扑区域上的正解存在性的经典结果推广到了上述椭圆型方程组.