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可信计算是科学工程计算中的重要问题.而可信验证是其中一类基本问题.本文主要讨论非线性系统奇异解的可信验证与半实验点集的消逝理想的近似边界基问题.非线性系统解的可信验证是应用广泛的一类问题.在火箭喷口受力分析,核磁共振机设计,数码机床控制等高风险应用领域中,很多问题最终都可以归结为非线性系统解的可信验证问题Rump于1983年给出了一种可信验证方法,解决了非线性系统单根存在性的验证问题.然而奇异解存在性的验证是一个病态问题,因为对非线性系统的系数作任意微小扰动,都可能导致一个孤立奇异解变成一族单根.因此研究奇异解存在性的验证具有重要的理论意义和应用价值.本文基于Rump的可信验证方法,研究了非线性系统奇异解的可信验证问题,得到了一系列结果,具体按章次介绍如下.第二章研究了非线性系统f（x）=0的孤立奇异解和和一类非孤立奇异解的可信性验证方法,其中f:Rn→Rm,f=（f1,f2…,fm）T,f1,…,fm为解析函数.假设x为f（x）=0的解,如果存在包含x的某邻域,使得x为此邻域内的唯一解,则称x为孤立解;如果对任意包含x的邻域,都存在异于岔的其它解,则称岔为非孤立解；如果f的雅可比矩阵在岔处非满秩,则称x为奇异解.我们研究的一类非孤立奇异解x指的是f的雅可比矩阵在非孤立奇异解x处的秩小于在x邻域内其它任意点处的秩.本章利用压缩技术,给出了一种正则化方法.利用f（x）=0,通过添加m-r个变量,n-r个方程,构造边界系统f1（x,y1）=0,使得（x,0）为f1（x,y1）=0的解,其中r为f的雅可比矩阵Jf（x）在f（x）=0的奇异解x处的秩.由f构造f1的过程称之为压缩.如果f1：Rm+n-r→Rm+n-r的雅可比矩阵Jf1（x）在解（x,0）处满秩,则可利用Rump的验证方法验证压缩系统f1（x,y1）=0的解的存在性与唯一性,从而可验证系统f（x）=0的奇异解或非孤立奇异解的存在性与唯一性.否则对f1（x,y1）=0按照上述方法继续压缩,构造新的边界系统.继续下去,如果Jk-1在其解处的秩亏度为q,则再添加q个变量,q个方程,得到新的系统fk（x,y1,,yk）=0,使得（x,0,,0）为其解.可以证明存在正整数σ,使得压缩σ次后,得到的Jfσ（x,y1,,yσ）在其解处满秩.从而可以用Rump的可信验证方法验证其解,进而可验证系统f（x）=0的奇异解或非孤立奇异解的存在性与唯一性.由于每一步都需计算雅可比阵,最后我们给出了计算雅可比矩阵的复杂度分析.基于上述方法,本章提出了可信验证算法VSS,该算法输出原系统的解的一个区间,使得该区间内必定存在原系统的一个精确解.与其它正则化方法相比,我们的方法添加的方程个数较少,计算效率较高;不仅能验证孤立奇异解,而且也能验证雅可比矩阵在解处的秩小于在解邻域内除解之外任意点处的秩的非孤立奇异解；还可用来处理超定系统（n<m）与欠定系统（n>m）奇异解的可信验证;与其它验证雅可比矩阵秩亏为q的系统奇异解的方法相比,我们的方法不但能验证多项式系统的孤立奇异解,还能验证一般非线性函数系统奇异解.我们在Matlab中实现了算法VSS并且测试了大量的例子,数值实验表明,算法对于复的奇异解同样有效.第三章介绍了欠定系统局部极小二范数解和超定系统局部极小二乘解的可信验证方法.设f：Rn→Rm,f=（f1,,fm）T,f1,fm在包含x的开集Ω内充分光滑.欠定系统f（x）=0（n>m）局部极小二范数解指的是约束优化问题的极小值点.通过引入Lagrange乘子λ=（λ1,λm）T,构造Lagrange函数将条件极值问题化作无条件极值问题,使得l1（x,λ）的稳定点为条件极值的可能极值点.而求l1（x,λ）的稳定点问题可转化为求解非线性系统可以利用算法VSS来求解此问题.如果VSS算法能够成功计算出区间向量（X,A）T,使得F（x,λ）=0的解（x,λ）T∈（X,A）T,则（x,λ）T为函数l1（x,λ）的稳定点.超定系统f（x）=0局部极小二乘解指的是优化问题的极小值点.通过引入新变量w=（w1,,wm）T和Lagrange乘子λ=（λ1,,λm）T,构造Lagrange函数l1（x,w,λ）的稳定点求解问题转化为求解非线性系统如果VSS算法能够成功计算出区间向量（X,W）T,使得F（x,w）=0的解（x,w）T∈（X,W）T,则（x,w,2w）为函数l1（χ,ω,λ）的稳定点.基于上述理论方法,本章最后给出了算法VSU与算法VSO,分别输出区间,使得在该区间内必定存在l1的一个精确稳定点.第四章研究了半实验点集的近似消逝理想边界基算法.在工业生产中,经常遇到这样的数据：一部分数据由观测所得,这些数据不可避免存在误差,称其为实验点；另一部分数据是通过多年生产实验所得,这些数据精确性较高,称其为精确点;由精确点与实验点组成的点集,称为半实验点集.由实验点集构成的近似消逝理想记作I,由精确点集构成的消逝理想记作J.为了使所得理想基中多项式次数尽可能低,没有必要要求所得的理想基在实验点集上严格取零值,对给定的精度,只要其在实验点上近似为零即可.本章我们给出了一种计算半实验点集的近似消逝理想I∩J的边界基算法SSOI.该算法输出I∩J的一组边界基,满足在实验点处近似消逝,在精确点处严格消逝,同时输出多项式环模I∩J的商环基.此外还给出了计算半实验点集近似消逝理想边界基的效率更高的算法SNBM,但是该算法仅输出一组在实验点处近似消逝,在精确点处严格消逝的边界基.