Sobolev型方程在数学、物理及工程等领域中应用广泛,相关的数值方法研究一直颇受重视。此类方程包含时空混合导数,使得相应的格式设计和理论分析变得较为困难。本文拟建立Sobolev型方程的局部间断有限元（LDG）方法,并从数值理论分析和数值实验两个角度阐释算法的有效性。该方法的主要亮点是辅助变量时空转换关系的充分应用,使得相应的时间推进简便易行。本文共分五章。第一章回顾Sobolev型方程及LDG方法的研究概况,最后一章是总结和展望。第二章到第四章是文章的主体部分,具体内容如下:第二章采用广义数值通量,构造二维线性Sobolev方程的LDG格式,并配合三阶全变差不增的显式Runge-Kutta（TVDRK3）时间离散,给出半离散与全离散格式的稳定性与最优误差估计。该方法巧妙运用辅助变量的时空转换关系,将高阶的发展型方程转化为一阶的发展型方程组。该做法具有两个数值优势:一是数值解的时间演化可以解耦为自由度的直接推进;二是数值通量的定义变得清晰和自然。本章给出了两种初值定义方式,并指出它们的差异:当原始变量和辅助变量在初始时刻满足DG离散关系时,LDG格式关于μ-范数是强稳定的;否则相应格式仅具有普通意义的稳定性。本章借助二维广义Gauss-Radau（GGR）投影及其修正技术,协调了不同变量在单元边界处数值通量的耦合关系,进而获得与实际相符的最佳估计。着重指出,误差估计中的界定常数与高阶项系数的倒数无关,换言之,本章结果同样适用于对流占优的Sobolev型方程。第三章将LDG方法应用于MBL方程。该方程为一类典型的非线性Sobolev方程,含有非凸对流项且为对流占优的,相应问题的解往往呈现出大梯度变化的瞬变层。本章旨在解决此类瞬变层问题数值模拟的准确性。实验表明,当方程粘性系数ε不是很小时,LDG方法可以准确捕捉到行波解的瞬变层。但在ε逐步变小的过程中,瞬变层附近的数值解将变得不再理想,出现剧烈的数值振荡。为此,我们引入三种非线性限制器:TVB限制器、WENO限制器和Moe限制器来改善数值效果。实验结果显示,选取适当参数的Moe限制器更为有效,它在减少数值振荡的同时保证了数值给出的上溢出平台高度与理论行波解相吻合。为捕捉瞬变层结构,采用全局加密将在光滑区域引起不必要的计算。为此,本章末还考虑一种自适应移动网格方法,使其在瞬变层附近进行局部加密。数值实验表明:在同样数值精度的要求下,移动网格方法有效较少了空间自由度,提升了计算效率。第四章将前两章的LDG方法推广至其它两类方程。一类是线性化的耦合BBM系统,另一类是含有五阶时空混合导数的KDV方程,它们具有或可转化为Sobolev型方程的形式。第一节我们结合TVDRK3时间离散方法,构造耦合BBM系统的半离散与全离散LDG格式。利用广义交替型通量关于DG空间离散的反对称性,可以证明,相应格式关于L~2-范数是强稳定的。同时,借助一维GGR投影技术,我们获得了L~2-范数下的最优误差估计。第二节研究LDG方法求解五阶KDV方程的理论分析。其中,格式设计的核心是引入适当的辅助变量和时间求导,将五阶方程转化为Sobolev方程组,进而给出方程组的半离散LDG格式。若数值初值满足DG空间离散关系,该格式具有与前一节类似的稳定性。在此基础上,利用一维GGR投影及其修正投影,我们证得了次最优的L~2-范数收敛阶。