当前，非线性科学已经蓬勃发展于各个研究领域并成为研究焦点。因而，我们在研究过程中常常需要处理各种各样的非线性方程。自20世纪60年代开始，众多数学家和物理学家经过不懈的努力，建立和发展了不少求解非线性系统的有效方法，但至今仍然没有一种统一的方法。因此，仍然需要我们发展不同的方法来解决各种非线性方程。这也仍然是我们研究的难点所在。　　而对于凝聚态物理中出现的复杂的非线性体系，传统的解析方法在多数情况下不敷应用，甚至无能为力，而计算机模拟实验往往成为解释某些物理机制的重要手段。例如，纳米磁体由于受到几何结构的限制，出现了孤子，涡旋，skyrmion，磁单极子等许多拓扑结构。对于这类涉及到多体相互作用和非线性作用的复杂体系，我们很难得到其严格的解析解。因此，本文采用蒙特卡罗模拟方法来研究纳米磁体出现的相变。　　本论文的工作主要分为如下两个部分：　　(1)我们将李文安等人提出的(g1/g2)-展开法应用于构造耦合非线性Klein-Gordon方程和经典Drinfel’d-sokolov-Wilson方程的精确解，我们得到了双曲函数通解、三角函数通解和有理函数通解三种通解。从求解精确解的过程来看，使用(g1/g2)-展开法构造非线性方程精确解有明显的优势：更直接、更简洁；而且跟其它方法相比，(g1/g2)-展开法可以借助计算机进行求解。而且，这一方法有望用于构造数学物理中的其他非线性发展方程的解。　　(2)我们应用蒙特卡罗模拟方法研究了包含交换耦合作用、长程偶极子-偶极子相互作用和垂直各向异性作用的三层状的铁磁纳米盘中出现的相变。我们发现在温度的诱发下，铁磁纳米盘出现了一种奇特的结构相变--当温度下降时，出现了从面外的条带状磁畴到面内带涡心的涡旋状磁畴的相变。在这一过程中，自旋经历了一次集体的和急剧的翻转运动。此外，这个相变中出现的强烈的热滞现象、潜热以及某些物理量的急剧变化，为说明该相变是一个一级相变提供了较为充分的依据。另外一个有趣的结果是，我们发现在小尺寸纳米盘的基态中出现了自发的单个skyrmion。这些也说明尺寸限制对自旋结构的形成起了重要作用。这也说明，纳米尺寸限制可以成为纳米磁畴设计和调控的重要手段。