计算机技术的进步推动了数值分析方法的快速发展。尽管近年来无网格法、离散单元法、数值流形法等数值方法也都获得了一定程度的发展和应用,但有限元方法由于其理论完善、通用性好而应用最为广泛。针对数值方法,目前主要存在两种发展的观点。一种观点是开发新的数值方法来适应特殊的需要,另一种观点是对有限元法进行扩充使其能够适应特殊的需要。本文则认同第二种观点,以有限元法为基础,进一步扩展其能力使其应用范围更为广泛。为了区别传统的有限单元法,本文将所研究的两种方法统称为特殊单元法。第一种方法是使有限元法能够处理裂纹开展等连续-不连续问题。传统的有限元方法在处理断裂问题时,需要对裂纹位置进行特殊的设置,并且在计算过程中需要不断地进行网格重划分等工作,而扩展有限元法(XFEM)在有限元法的基础上,采用不连续的函数对位移场进行逼近,使裂缝与网格独立,在计算过程中避免了网格重新划分。另一种方法则突破单元形状的限制,使其能够精确处理更加复杂的问题。现有的有限元方法在处理二维问题时由于形函数的限制,一般多为三角形单元和四边形单元,不易处理复杂边界和材料等问题,虚单元方法(VEM)在有限元和有限差分的基础上,利用空间映射的思想,将单元的试函数与单元的自由度结合起来,可以扩展至任意多边形单元,在计算过程中不需要形函数的显式表达式。本文将针对上述两种特殊的数值方法进行研究。由于目前针对XFEM的研究较多,而针对VEM的研究还十分欠缺,本文将重点研究VEM。论文主要研究内容和结论如下:(1)对XFEM的基本理论进行介绍,根据断裂力学的相关理论,采用FORTRAN程序编写了线弹性XFEM程序,并通过二维板开裂的数值算例对程序的准确性进行了验证。通过算例分析可知:XFEM在计算过程中不需要对网格进行重新划分,大大简化了不连续问题的分析过程,展示了 XFEM处理裂缝开裂和扩展等问题的优越性。(2)介绍了 VEM的基本理论和求解流程。基于VEM的基本原理,编制了线弹性地基和土体渗流问题的计算程序,并通过具体算例验证了程序的准确性。数值计算表明:a)本文采用的基于不同位移模式划分的正交映射法则是合理的,线弹性VEM程序计算结果是准确的。b)VEM方法可以用来进行渗流分析,并且在饱和—非饱和渗流分析中,VEM方法可以准确捕捉随水位变化的稳态渗流场;当网格数量增加时,VEM计算结果也更加准确。c)当采用多边形网格时,与FEM方法相比,VEM方法在较少的网格数量下即可获得FEM较多数量网格相同的计算精度,所以对于大型的工程分析,本文建议采用多边形网格即VEM方法进行计算,既可以保证计算精度,同时可以大大减少计算量,减少存储量,提高实际分析的效率。