Pardoux-Peng(1990)首次考虑了如下形式的倒向随机微分方程(BSDE):并给出了解的存在唯一性.在对BSDE的性质深入研究的基础上,Peng(1997)基于BSDE的解提出了g-期望和条件g-期望的概念:设g满足条件(A1)Lipschitz条件和(A2)g(t,y,O)≡O,称　　 为ξ的g-期望和条件g-期望,其中(yt)t∈[0,t]为上述BSDE对应终端ξ的解.特别重要的,g-期望是第一个动态相容的非线性期望,而Choquet(1953)从容度出发提出的Choquet期望(也称Choquet积分)至今也没有做到动态相容.g-期望的一个特点是可以在一个概率框架下去讨论,Peng(2005)进一步提出了完全不需要概率框架的更一般的动态相容的非线性期望理论,开创性的提出了用非线性马氏链构造动态相容的非线性期望.特别的Peng(2004)考虑了股票市场波动率的不确定性,具体的构造了一类动态相容而非g-期望的例子,这可以看做G-期望理论的最初研究.　　 Peng(2006)提出了G-正态分布,G-期望和G-布朗运动的概念,建立了基于G-布朗运动的随机积分,得到了相应的It(o)公式,随机微分方程和倒向随机微分方程解的存在唯-性等一系列结果,创立了一套完整的理论框架.特别吸引人的地方是,在G-期望的理论框架下已经得到了一些很有趣的结果,出现了一些很有趣的方法,还有大量有趣的问题.另外我们指出G-期望是动态相容的次线性期望但不是g-期望,而g-期望可以看成G-期望的一种特殊情形.最近,Peng(2007,2008)研究了次线性期望下独立同分布序列的中心极限定理,令人惊奇的是其极限分布存在且是G-正态分布,这一结果表明G-正态分布是客观存在的,而且其在次线性期望中的地位可能比正态分布在线性期望中的地位更重要.　　 本文深入系统地研究了动态相容的非线性期望理论中的一些基本问题,特别是G-期望中的一些基本问题,其中包括g-期望与Choquet期望的关系；G-正态分布的相关计算；G-期望的表示定理,G-布朗运动的轨道语言；G-Lévy过程等.并在以下方面取得了明显进展:　　 一、第一章在g是确定性的条件下,得到了g-期望在全空间和在部分集合上等于Choquet期望的充要条件；在g是确定性的凸函数的条件下,得到了g-期望被Choquet期望控制的充要条件.　　 本章我们对此问题给出了一种新的处理办法,得到了本章的第一个主要结果:定理1.3.12.设g是确定性的函数且满足条件(A1)和(A2),则g-期望在L2(FT)上等于Choquet期望的充要条件是g与y无关且关于z是线性的,即g-期望是经典的线性期望.　　 本章的第二个主要结果是考虑g-期望在L2(FT)的-个子集上等于Choquet期望的充要条件.为此我们先简要回顾一下相应的空间:特别的集合H11和H2可以看成欧式期权头寸的集合.Chen-Sulem(2001)首次研究了g-期望在H1上等于Choquet期望的问题,在布朗运动的维数是1维的情形下得到了一个充要条件；在布朗运动的维数大于1的情形,Chen-Kulperger-Wei(2005)给出了一个充分条件.　　 本章最后我们进一步研究了g-期望在L2(FT)上被Choquet期望控制的条件,得到了本章的第三个主要结果:定理1.4.3.设g是确定性的函数,满足条件(A1)和(A2),且与y无关,关于z是凸的,则对任给的ξ∈L2(FT)有εg[ξ]≤Cg[ξ]的充要条件是g关于z是正齐的且是次可加的.　　 本章我们系统的研究了g-期望的性质,这是第一个动态相容的非线性期望.我们希望通过g-期望的性质更好的认识更一般的动态相容的非线性期望的性质,特别是G-期望,同时也可以把g-期望做为一个很好的例子.这种想法在论文的第二章和第四章都有所体现.　　 二、第二章得到了G-正态随机变量奇次方分布的计算公式；证明了凸期望下的中心极限定理仍成立.　　 本章的第-个主要结果:　　 特别需要指出的是上述公式的计算顺序,首先由第一个式子得Cn(这很容易由计算机程序实现,误差是可控的),代入第二个式子即得kn.我们希望我们的结果会对今后的有关G-正态分布的随机计算有所帮助,至少可以提供一个验证的例子.　　 我们的第二个主要结果是考虑凸期望下的中心极限定理,这部分研究深受Peng(2007,2008)关于次线性期望下中心极限定理工作的启发.下面是我们的第二个主要结果:　　 特别令人惊奇的是,凸期望下的极限分布跟次线性期望下的极限分布相同,即对应的G都是次可加且正齐的.特别有意思的是将中心极限定理的结果应用于g-期望可以得到一些很有趣的关系式,下面是我们的第三个主要结果:　　 三、第三章系统的研究了基于概率族的测度论,得到了空间Lpb和Lpc的刻画,随机过程的Kolmogorov连续修正准则和相应的次线性期望的收敛定理；获得了次线性期望下一类随机过程分布的表示定理,特别G-期望有如此的表示定理,结合Lpc的刻画,我们进一步建立了该类过程生成的完备化空间的轨道描述,特别G-布朗运动的轨道描述.　　 引入了G-布朗运动并建立了相应的随机积分理论,这套理论的一个关键是引入了合理的范数,所给的空间都是在相应范数下的完备化空间.为了更好的介绍我们的工作,我们首先回顾一下Peng中引入的记号:　　 本章我们深入系统地研究了这一问题,给出了LPG(Ω)空间中元素的一个具体描述.在处理这一问题上,我们首先给出一种简单而直接得办法去证明G-期望可以表示为一族弱紧的概率测度族P对应的上期望.更一般的我们有下面的本章主要结果:　　 基于此概率族P,我们重新建立了相应的测度论.具体的来说,定义相应的容度(请参阅Huber(1981)):由容度可以引入拟连续函数的概念,在此基础上可以定义函数的拟连续修正.同时还可以引入下述函数空间:任给的p≥0,本章我们还得到了下述一系列主要结果:定理3.2.6.对任给的p>0,有定理3.2.28.对任给的p>0,有定理3.2.22.(Kolmogorov连续修正准则)定理3.2.33.(收敛定理)设P是弱紧的概率族,由于Lip(Ω)是有界连续函数空间的子空间,从而LpG(Ω)可看成Lpc的子空间.在此基础上,进一步我们可以证明所有的有界连续函数都在LpG(Ω)中.进而我们得到了下述主要结果:　　 定理3.3.10.(轨道性质)设次线性期望空间(Ω，Lip(Ω),(E))满足上述定理3.3.7.中的条件，则对任给的p>0，有特别需要指出的是定理3.2.6.和3.2.22.中不要求Ω是距离空间,易知G-期望满足定理3.3.7.中的条件,从而定理3.3.7.和3.3.10.对G-期望和相应G-布朗运动生成的空间中是成立的,从而定理3.2.33.对G-期望也成立.　　 特别有趣的事,Banach空间Lp,Lpb和Lpc在经典的线性期望下是同一空间,但在次线性期望下这些空间是不同的且存在着本质的区别.例如在LpG(Ω)=Lpc中有条件G-期望的概念,但在更大的空间中是否可以定义条件G-期望仍然是个很有趣的问题.　　 特别我们指出文章[25]中第一次明确提出了这种q.s.轨道分析的思想,我们的文章[26]第一次严格地证明了这种q.s.意义下的轨道分析.　　 四、第四章首次提出了次线性期望下G-Lévy过程的概念,得到了G-Lévy过程的Lévy-Khintchine公式,进而找到了G-Lévy过程的分布满足的积分偏微分方程,以及由此积分偏微分方程具体的构造G-Lévy过程.　　 在处理这一问题上,我们主要研究独立平稳增量过程(Xt)t≥0的分布性质,具体的来说,即研究函数u(t,x):=(E)[()(x+Xt)]满足的偏微分方程.本章我们深入系统的研究了这一问题,主要是针对我们引入的G-Lévy过程,这对应于跳是可求和的独立平稳增量过程,从而我们定义G-Lévy过程是一类能在分布意义下分解为跳部分和连续部分的独立平稳增量过程.关于跳部分不能用Peng(2007)中给出的方法去处理,我们克服了一些实质性的困难,关键是巧妙地应用了Daniell-Stone定理,对跳部分给出了很好的处理,得到了G-Lévy过程分布的Lévy-Khintchine公式,在此基础上进一步找到了u满足的积分偏微分方程.由此积分偏微分方程,可以反过来构造G-Lévy过程.下面是我们本章的主要结果:　　 定理4.2.19.设(Xt)t≥0是d-维G-Lévy过程.对任意给定的()∈Cb.Lip(Rd),定义u(t,x)=(E)()(x+Xt)],则u是下述积分偏微分方程的唯一粘性解:其中u表示Gx.　　 定理4.2.23.任意给定u满足定理4.2.18.中的要求,则必存在以u为表示的G-Lévy过程.　　 特别需要指出的是若U只含有测度u,我们可以用这种纯跳的特殊情形去定义G-Poisson过程和G-Poisson分布.进一步,我们不难将上述方法推广到用于处理非时齐的G-Lévy过程,即独立增量过程.