矩阵方程的求解问题广泛来源于信号处理、结构设计、稳定和控制理论等领域.由于张量是矩阵的高阶形式,关于张量方程的求解研究成为人们关注的热点课题.本文的主要工作共分三部分:第一部分是Einstein乘积下两类张量方程的数值算法研究;第二部分是关于模积下几种张量方程的数值解法;第三部分是探讨一类张量方程的解析解.本文的主要工作具体有以下几个方面:1.Einstein乘积下两类张量方程的数值解.本文第二章建立了张量的Einstein乘积与通常的矩阵乘积之间的联系.利用线性搜索的思想,我们提出一类数值算法用来求解Einstein乘积下的两种张量方程以及与之相对应的最小二乘问题.该类算法单纯使用张量运算,即方法中没有涉及矩阵化步骤.理论分析表明,只要所考虑的张量方程是相容的,对任意的初始张量,在没有舍入误差的情况下本文给出的算法能在有限步内得到相应方程的精确解.2.Sylvester张量方程的数值解.Sylvester张量方程是Sylvester矩阵方程的高阶形式.在本文的第三章我们首先引入了张量空间上的一个线性映射,接着借助于此映射推导出两种算法用来求解Sylvester张量方程.另外,本文还推广了BiCOR和CORS方法,提出基于张量格式的BiCOR和CORS方法用来求解Sylvester张量方程,并且分析了这些方法的收敛性质.数值例子进一步验证了理论分析结果.根据收敛所需要的CPU时间以及逼近解的相对误差,本文所提出的这些方法比其他现有的方法更有效.3.四元数代数上Sylvester张量方程的最小二乘解.本文第四章提出四元数代数上的Sylvester张量方程.借助于张量的实表示和复表示,我们给出四元数代数上Sylvester张量方程的一些等价形式,讨论了四元数代数上Sylvester张量方程的最小二乘解以及相关的最佳逼近问题,提出基于张量格式的共轭梯度最小二乘方法来求解这些问题,同时研究了该方法的收敛性质.给出的数值例子表明该方法是有效可行的.4.求解Stein张量方程的数值方法.作为Stein矩阵方程的自然推广,本文第五章提出Stein张量方程.我们给出了与Stein张量方程等价的线性方程系统,并且在一定条件下得到了Stein张量方程可以用级数形式表示的解析解.此外本文还提出基于张量格式的BiCG和BiCR方法用来求解高阶的Stein张量方程,同时给出了这两种方法的收敛性质.5.一类张量方程的解析解及其应用.本文第六章主要研究了一类张量方程的解析解.Sylvester张量方程、Stein张量方程、连续型Lyapunov张量方程和离散型Lyapunov张量方程均可以看作该类方程的特殊情形.本文给出可对角化条件下该类张量方程解的形式.利用谱理论的一些基本结果,我们推广了Lancaster的一些结论,同时还推广了Wimmer和Ziebur的一些结果,并且揭示了Lancaster的结论与Wimmer和Ziebur的结论之间的联系.最后本文利用该类方程的解析解表达式证明了关于张量的Lyapunov和Stein稳定定理.