强关联电子系统中的各种新奇物理,如莫特转变、巨磁阻效应、分数量子霍尔效应、高温超导、重费米子等吸引了人们的长期关注。在这类体系中,电子之间的强烈相互作用使得基于单电子近似的传统能带理论和基于小量展开的微扰理论失效。因此发展新方法来处理强关联电子体系中的各种平衡及非平衡物理是一个重要的前沿基础课题,而这也是本文的研究目的。本论文可以分为两部分,第一部分中我们发展新方法来研究平衡态量子相变,第二部分中我们发展新方法来研究非平衡的动力学量子相变。重费米子系统是研究得最广泛的强关联电子系统之一。长期以来,人们对重费米子物理的理解主要来自平均场理论所提供的静态杂化图像。该图像认为局域电子在特征温度TK之下才开始发生局域-巡游转变进而与传导电子发生杂化形成重费米子能带。虽然平均场理论的图像简单直观,但它忽略了杂化涨落和杂化关联,这导致平均场理论中的有限温局域-巡游转变是一个相变过程,与实验中观测到的渐变行为不符。针对这一问题,我们发展了静态辅助场近似方法来研究重费米子系统中的杂化涨落效应,进而结合最近提出的互信息神经网络算法来揭示杂化关联。当我们把新方法应用到两杂质近藤模型中时,我们得到了正确的渐变行为,表明新方法确实能够有效地处理杂化涨落。此外,我们发现杂化场的振幅互信息在“Varma-Jones”不动点处随温度降低对数发散,表明振幅互信息可以揭示零温的量子相变及其量子临界性质。在近藤效应占主导的区间,非零的相位互信息揭示了不同格点上杂化场的相位相干性与重费米子杂化图像之间的深刻联系。我们的方法可以推广到多杂质和晶格模型的研究中,希望能够为重费米子二流体唯象理论和实验中观测到的两阶段杂化过程提供微观理论支撑。得益于实验技术的迅猛发展,除了调控温度、磁场、压力等参数来研究强关联电子系统的平衡态相变与临界现象以外,人们还可以调控时间来观察系统的非平衡性质。尤其是随着涨落关系、多体局域化、时间晶体、动力学量子相变等新奇现象的发现和概念的提出,非平衡物理吸引了越来越多科研工作者的关注。在这一领域中,量子功是一个非常重要的物理量,因为它既能描述平衡态相变的临界现象,又能描述非平衡的动力学量子相变和涨落关系。但在多体系统量子功和动力学量子相变的研究中,传统的哈密顿量方法只局限于参数突变的情况,极大地限制了我们对非平衡物理的认识。为了能够高效地研究任意非平衡条件下的量子功和动力学量子相变,我们将路径积分理论推广到非平衡物理的研究中。作为发展方法的第一步,我们研究了任意双线性模型在任意非平衡条件下的功分布,得到了一般的解析解。当我们把新方法应用到横场伊辛模型中时,我们得到了与传统哈密顿量方法相同的结论,表明了新方法的正确性和有效性。当进一步应用到拓扑模型中时,由于拓扑性质的影响,我们发现不可逆功的标度中存在反常的1/修正。此外,我们还比较了三种不同非平衡条件下的动力学量子相变,发现动力学量子相变的时间周期性仅存在于参数突变的情况中。最后,我们以伊辛-近藤模型为例阐述了如何将路径积分与蒙特卡洛方法结合并推广到强关联电子系统的非平衡物性的研究中。