本文主要由两个部分组成，第一部分涉及曲线的一些不等式以及Minkowski支撑函数的一个应用；第二部分讨论欧氏平面上闭凸曲线的保长度流和曲面上曲线缩短流的一个应用。 具体地讲，在第一部分中，首先讨论平面上闭凸曲线的强Bonnesen型不等式（2．1．3）（公式的编号和参考文献的编号引自后面的正文），Bonnesen在文[12]中先证明了较弱的不等式（2．1．2），几年以后，在他的著作[13]中，讨论了多种Bonnesen型不等式，其中包括不等式（2．1．3），不过，他把（2．1．3）作为高维欧氏空间中凸体的Kritikos定理的直接推论，我们这里对不等式（2．1．3）给出独立的存在性证明，并且还对平面闭凸曲线的bi-enclosing环的宽度给出了一个估计。其次，对双曲平面上的曲线引入平均测地曲率的概念，并讨论双曲平面上凸曲线的嵌入性与它的平均测地曲率之间的关系，其目的是为了将双曲平面上曲线的性质与欧氏平面中曲线的性质作一些对比；最后，我们利用Minkowski支撑函数构造了一类新的非圆的光滑常宽曲线，其目的是想回答有关常宽曲线的一些未解决问题（如是否存在非圆的多项式常宽曲线?等等）。 在第二部分中，首先仿照Gage-Hamilton[28]的曲线缩短流、Gage[26]的平面凸曲线保面积流和作者在[47]中所讨论的平面凸曲线流，给出欧氏平面上闭凸曲线的保长度流，这种流具有物理和应用背景。本文证明在这种新的曲线流之下，闭凸曲线周长保持不变、所围区域的面积不断增大而曲率保持恒正（从而保持凸性），并且，随着时间的推移曲线变得越来越圆，最终当时间t趋向于无穷大时，曲线在Hausdorff度量意义下收敛到一个圆周。然后，仿照Topping[51]和[52]利用平均曲率流证明等周不等式的想法，我们利用曲面上的曲线缩短流在Gauss曲率非正的曲面上证明了一个等周不等式（6．3．1），它可以看成欧氏平面上Banchoff-Pohl [8]不等式在曲面上的推广。Howard [34]中已经给出了不等式（6．3．1），在那里不等式（6．3．1）是一种特殊的Sobolev不等式的直接结果，我们这里只是利用曲面上的曲线缩短流给出一种新的证明。