分数阶导数因其非局部性,在数学、物理、生物等领域中被广泛地应用于研究具有记忆性的随机过程.本文主要研究非遍历反常扩散的随机游走理论,并通过蒙特卡洛数值算法逐一验证理论结论的正确性.通过随机游走理论研究非遍历反常扩散运动时,往往会构建两类独立同分布的随机变量,即等待时间以及跳跃步长,然而现实当中由于粒子所处运动区域的不同,随机游走的等待时间以及跳跃步长所满足的分布会有一定的变化,为了处理这一部分问题,我们引入了内部状态这一概念,并推广了经典的随机游走理论.另一方面本文还系统研究了时空耦合的随机游走理论,将时间与空间从经典的线性耦合推广到更加一般的耦合方式,并通过正交多项式理论来计算一些统计量等,进一步利用这一方法从理论上解决了在调和势下时空线性耦合的随机游走问题.本文共分为七章.第一章简要介绍了分数阶方程以及非遍历反常扩散的发展过程以及物理背景,同时对研究现状进行分析.之后大致描述本文的研究内容,方法以及创新点等.第二章主要研究了具有多内部状态的复合泊松过程.首先我们简要介绍了经典的连续时间随机游走模型,该模型也可以被视为一种复合泊松过程.之后我们将多内部状态的概念引入到连续时间游走模型中,并通过相关背景的介绍来说明引入内部状态这一概念的意义.接着本章将推导粒子在某一时刻所处位置的概率密度函数所满足的宏观方程,即Fokker-Planck方程,之后通过构造状态转移矩阵以及等待时间,我们得到了二阶矩的渐近行为,并分析了反常扩散指数的转移方式.之后通过定义粒子轨迹以及内部状态的泛函,分别推导出各个泛函概率密度函数所满足的宏观方程,即Feynman-Kac方程,并分别对于这两种Feynman-Kac方程给出具体的应用实例.本章最后将应用具有多内部状态的复合泊松过程来处理非即时重复随机游走过程,并通过计算二阶矩来反应扩散的快慢.在第三章中,我们将基于连续时间随机游走构造刻画转移扩散指数的反常扩散模型,这种反常扩散在自然界中同样是很常见的.基于连续时间随机游走框架,我们选择等待时间的概率密度函数为含有三参数的Mittag-Leffler函数。并且通过该模型,我们将从理论上计算该随机过程的均方位移,同时我们将看到扩散指数的转移趋势。此外在这一章中,我们还将给出该过程所满足的宏观方程以及相应的随机表示。最后我们将通过该模型计算分数阶矩,以及计算该过程在调和外势下的概率密度函数.在第四章中,本文的讨论将由时空独立的过程转移到时空耦合的随机游走.时空耦合的随机游走,即莱维游走,在数学以及物理中同样具有很多的应用.首先本章将介绍莱维游走的基础理论以及研究意义,研究现状等.之后我们将构建多内部状态莱维游走模型,并对空间和时间变量分别做傅立叶以及拉普拉斯变换得到该过程粒子位置分布函数的形式.同样我们将分析非即时重复的莱维游走,我们发现对于超扩散类型的莱维游走,非即时重复对于其Pearson常数以及均方位移均没有影响,这是莱维游走的一种稳定性.然而当莱维游走表现出正常扩散的动力学行为,此时非即时重复的影响将会显现出来.对于特定的转移矩阵,对应的多内部状态莱维游走可能不再是对称过程,这时我们将具体地考虑其方差,并与对应的连续时间随机游走模型进行对比,结果表明两者方差在幂次的变化程度上有显著的不同.由于均方位移已经不足以区分非即时重复的类型,我们进而通过数值模拟得到各个非即时重复的莱维游走首次通过时间分布以及均值,模拟结果表明这两个量可以较为清楚地区分不同类型的非即时重复莱维游走.在第五章中,我们将通过利用埃尔米特正交多项式来处理速度与参数相关的莱维游走问题.通常我们使用积分变换（包括傅立叶变换,拉普拉斯变换）的方法来处理及分析随机游走过程,然而对于时空耦合的问题,比如莱维游走,有的时候积分变换这个方法将不再适用.于是作为积分变换方法的一种补充,在这一章中我们将着重介绍埃尔米特正交展开的方法.首先我们将通过这两种方法分别计算一些经典统计量,并由计算结果的一致性,我们可以验证正交多项式方法的正确性.此外我们考虑了速度与参数有关的莱维游走,即莱维游走的速度大小与每一步的游走长度或者游走时间相关.在这种推广的莱维游走中,我们发现了一些有趣的现象,比如概率密度函数的特殊形状,首次通过时间以及均方位移多种不同的扩散行为等.在第六章中,我们将讨论调和外势对于莱维游走的影响.首先我们将通过埃尔米特正交多项式对调和外势下的莱维游走概率密度函数进行展开,并计算一些统计量以及稳态解的近似形式.同时我们还考虑了在调和外势下,原点处具有反射边界的莱维游走,并计算了稳态解近似形式.我们的结果解决了围绕着莱维游走多年的难题,同时也说明正交多项式在处理莱维游走等问题中还蕴藏着巨大的潜力.本文第七章将对全文进行总结以及对未来工作的展望.