公钥密码体制是保障信息安全的主要手段之一,一个好的公钥密码方案除了是安全的还必须是高效的。在密码学中,基于已知的数学难题构造安全的密码方案是常用的一种方法。目前,成熟的公钥密码算法大都是基于整数分解和离散对数的数学难题之上的,但是这些公钥密码体制运算速度较慢,并且不能抵抗量子攻击和亚指数攻击,这些不足限制着它们的应用,因此必须基于新型的困难问题构造更加高效和安全的公钥加密体制。1996年,Ajtai指出某些格问题的最坏情况复杂性和平均情况复杂性之间的等价性,这一创新性结论为构造新型密码体制提供新方向。在具有线性结构的格中,涉及到的运算大都是线性运算,并且目前不存在求解格上难题的多项式时间算法和量子算法,因此可以基于格上的难题设计安全高效并且能够抵抗量子攻击的公钥密码算法。本文主要对格的相关理论及其在密码设计中的应用进行研究,详细分析基于格问题的公钥密码方案,利用最新的研究成果和设计方法,构造新的公钥加密方案,尤其是对基于Learning With Error Problem (LWE问题)和Learning With Error Problem Over Ring (R-LWE)问题的加密方案进行研究,并且基于R-LWE问题构造了三个安全高效的加密方案。与基于LWE问题的加密方案相比,这些方案具有较低的计算复杂度,同时因其与格中困难问题的困难性等价,因而能抵抗量子攻击。