【摘 要】
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本文研究带边界条件的随机Hamiltonian系统的特征值问题,该问题本质上是一类含参变量的随机两点边值问题.特征值问题在基础数学与应用数学中都是基本问题,其中微分方程的特征值问题在例如解的稳定性等方面有重要的应用.相对于确定性微分方程特征值问题得到的大量研究,随机微分方程特征值问题的研究尚处于起步阶段.彭实戈院士于2000年在[25]中利用Riccati方程解的爆破性研究了带两点边值条件的常系数
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本文研究带边界条件的随机Hamiltonian系统的特征值问题,该问题本质上是一类含参变量的随机两点边值问题.特征值问题在基础数学与应用数学中都是基本问题,其中微分方程的特征值问题在例如解的稳定性等方面有重要的应用.相对于确定性微分方程特征值问题得到的大量研究,随机微分方程特征值问题的研究尚处于起步阶段.彭实戈院士于2000年在[25]中利用Riccati方程解的爆破性研究了带两点边值条件的常系数随机微分方程的特征值问题,且通过特征值问题研究了对应随机微分方程解的随机周期性.吴臻教授和王海洋博士[29]在此基础上进而研究了带跳的常系数随机Hamiltonian系统的特征值问题.本文在此基础上主要研究了带边界条件的变系数随机Hamiltonian系统的特征值问题.随机Hamiltonian系统最初作为随机最优控制的必要条件而出现,是一类强耦合的正倒向随机微分方程.自从Pardoux和Peng（1990）[21]在非线性倒向随机微分方程的良定义方面取得突破性成果之后,正倒向随机微分方程相关理论随之取得了极大地进展[1,5,9,17,19,22,26,34,36,38,39],并且直到现在仍是重要的前沿领域[4,6,7,8,10,11,15,20,30,32,40].本文对随机Hamiltonian系统特征值问题的研究正是基于正倒向随机微分方程解的存在性理论,特别是单调性条件和解耦方法.本文研究带边界条件的随机Hamiltonian系统特征值问题的主要思路是,首先对原系统通过Legendre变换得到对偶Hamiltonian系统,然后通过正倒向随机微分方程的解耦方法,导出原系统和对偶系统对应的Riccati方程,进而考察Riccati方程的解的爆破时间关于参变量的性质.另外,多种比较原理及方程的解关于系统系数、定解条件和参变量的连续依赖都在主要证明中有重要作用.本文的具体安排如下:在第一章,我们介绍了与本文随机特征值问题相关的基本概念并建立模型.通过三个具体的例子表明了随机特征值问题和非随机特征值问题的异同,以及非自治相比于自治随机特征值问题所特有的困难.同时引入若干后文将用到的基本条件和引理.在第二章,对带边界条件的自治随机Hamiltonian系统的一类特征值问题,在[25]的基础上我们刻画了系统特征值的增长阶数.在第三章,对于非自治的带边界条件的一维随机Hamiltonian系统的一类特征值问题进行了考察.首先给出了特征值的存在性结论,并构造了相应的特征函数以及给出了相应的特征空间的维数的估计.给出了一个可以确定全部特征值的充分性条件,给出了特征值增长的阶数的估计,并由此来直接通过系数估计一类正倒向随机微分方程的解的统计周期.在第四章,对于高维非自治带边界条件的随机Hamiltonian系统的一类特征值问题给出了特征值存在性的结论,并构造了相应的特征函数且估计了特征空间的维数.第四章用类似的方法对另一类不能用Peng的泛函分析框架包含的随机特征值问题进行了考察.在第五章,对非自治的带边界条件的由经典跳扩散过程驱动的一维随机Hamiltonian系统的一类特征值问题进行了考察.
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