偏微分方程和变分法已经成为图像处理领域中的两个十分重要的工具.对于偏微分方程来说,我们可以直接构造偏微分方程来解决图像恢复和图像分割中的问题.而对于变分法,图像恢复和图像分割问题往往转变为一个能量泛函极小化问题,这种方法可以整合一些有用的信息,比如,先验形状和边界正则化.在本文中,我们一方面提出高效的数学模型,并且注重快速算法在图像处理中的应用;另一方面给出一些模型的理论分析,从而这些模型能够在理论上得到支撑.本文的主要研究内容分为以下两个部分:第一部分:图像去噪中的数学方法1,基于分数阶保真项的偏微分方程我们提出一个新的用于图像去噪的偏微分方程,该模型结合了分数阶保真项和全局灰度值保真项.这两种保真项的结合能够衡量图像间灰度值变化的相似性,并且可以消除阶梯效应,增强图像的纹理信息.实验表明,基于分数阶保真项的模型在去除图像噪声上要比基于梯度保真项的模型好.2,基于时滞正则化的偏微分方程我们提出一个基于时滞正则化的非线性偏微分方程,该方程能够在去除图像噪声的同时保存图像的纹理信息.由于时滞正则化纳入滤波过程中,我们可以获取迭代过程中每一步的图像.时滞正则化方法能够较好地替代仅从图像本身构造扩散系数的高斯滤波平滑方法,并且能够防止过度平滑.最后,我们利用Galerkin方法给出方程解的存在性与唯一性的证明.第二部分:图像分割中的数学方法1,基于图像恢复和Mumford-Shah模型的图像分割我们提出一个基于图像恢复和Mumford-Shah模型的图像分割方法,该方法可以有效地提取模糊图像或者噪声图像的感兴趣区域.由于交替迭代算法便于计算,而且具备了收敛性质,因此,我们选取交替迭代算法用于求解我们的模型.在理论上,我们给出了极小化能量泛函解的存在性,唯一性的证明.2,基于图像曲面的平均曲率正则化的Mumford-Shah模型和阈值的图像分割我们首先提出一个改进的Mumford-Shah模型,该模型的正则项由图像曲面的平均曲率的L1范数所取代.这种改进的Mumford-Shah模型不仅能够去除噪声,而且能够保存物体的几何形状,特别是,物体的拐角处.利用Augmented Lagrangian算法求解该模型,我们得到一个平滑图像u.最后,图像分割则是通过选取合适的阈值实现的.实验表明,我们的方法能够更好地提取物体的边界,特别是,物体拐角处的边界.