【摘 要】
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随着传染病动力学研究和理论的不断更新,时滞微分方程更加广泛的应用到传染病模型的传播规律研究中.时滞微分方程是用来描述状态不仅依赖于当前的状态,也依赖于历史状态的动力系统.这种滞后现象在传染病传播过程中普遍存在.首先,我们简要介绍了传染病动力学模型研究的背景和现状.用数学模型探索传染病的传播规律,能够起到实验学科不能发挥的作用:可以帮助人们更好地理解传染病的爆发传播规律,以便采取措施预防和控制.我们
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随着传染病动力学研究和理论的不断更新,时滞微分方程更加广泛的应用到传染病模型的传播规律研究中.时滞微分方程是用来描述状态不仅依赖于当前的状态,也依赖于历史状态的动力系统.这种滞后现象在传染病传播过程中普遍存在.首先,我们简要介绍了传染病动力学模型研究的背景和现状.用数学模型探索传染病的传播规律,能够起到实验学科不能发挥的作用:可以帮助人们更好地理解传染病的爆发传播规律,以便采取措施预防和控制.我们进一步介绍了霍乱这种水源性传染病的研究现状.由于霍乱具有多种传播途径,故其模型具有一定的高维性和复杂的强耦合性,此类模型的研究和分析难度很大.其次,我们建立了具有时滞和一般感染发生函数的霍乱模型.利用抽象的常微分方程的定性理论,证明了模型解的存在唯一性;通过比较原理证明了解的正性和一致有界性,给出了环境再生数.通过计算霍乱的基本再生数,得到了平衡点的存在定理.进一步通过构造合适的Lyapunov泛函,结合Lyapunov-LaSalle不变原理,证明了当基本再生数小于1时无病平衡点的全局稳定性.最后,对系统进行了 Hopf分支研究,发现了时滞能够引起正平衡点失去稳定性,发生Hopf分支现象并导致系统的解产生周期震荡现象.通过研究系数依赖于时滞的超越方程特征根的分布,探讨了局部Hopf分支在正平衡点处存在的充分条件.并在此基础上运用泛函微分方程的中心流形定理和规范型理论,研究了正平衡点处局部Hopf分支的性质.接着利用全局Hopf分支定理研究了系统的全局Hopf分支性态,给出了系统周期解的大范围存在性条件.
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