【摘 要】
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Poisson-Nernst-Planck(PNP)方程主要用于描述分子溶液中的静电扩散反应过程,广泛地应用于物理、生物、化学、工程等学科领域.实际问题中的PNP方程存在奇性,为了解决奇性问题,我们利用自适应有限元方法求解含时PNP方程.后验误差分析是实现自适应有限元方法的关键部分,因此我们对含时PNP方程做了如下研究:首先,对于含时PNP方程,将向后Euler格式应用于时间离散,将线性三角形有限
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Poisson-Nernst-Planck(PNP)方程主要用于描述分子溶液中的静电扩散反应过程,广泛地应用于物理、生物、化学、工程等学科领域.实际问题中的PNP方程存在奇性,为了解决奇性问题,我们利用自适应有限元方法求解含时PNP方程.后验误差分析是实现自适应有限元方法的关键部分,因此我们对含时PNP方程做了如下研究:首先,对于含时PNP方程,将向后Euler格式应用于时间离散,将线性三角形有限元应用于空间离散.对于这种离散格式,构造了残量型后验误差指示子,该指示子由空间残量指示子和时间残量指示子两部分组成.对PNP方程中电势和离子浓度这两类解进行后验误差分析,分别给出了误差上界和下界的结果.其次,基于误差分析中构造的残量型后验误差指示子,设计了求解含时PNP方程的自适应有限元算法,并在Fortran环境下给出了三个数值算例.数值结果表明基于我们构造的残量型后验误差指示子设计的自适应有限元算法,在求解含时PNP方程的奇性问题时是有效的和可靠的.最后,我们采用Crank-Nicolson格式对含时PNP方程进行离散,引入一种新的Ritz投影算子.利用此投影算子,对含时PNP方程的有限元离散进行先验误差分析,理论分析得到了有限元解在~2L模下的最优误差估计.最后,给出了一个数值实验验证了理论结果.
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