微分方程解的研究一直以来都是人们最为关注的研究领域，大部分微分方程都是从实际问题中抽象建模而成的，所以我们在研究微分方程问题的时候，讨论其解的存在唯一性有着基础性的意义。其中，关于非线性微分方程有无解，其解是否存在唯一，解的稳定性如何，一直是个难题。微分方程边值问题的弱解。就是其相应泛函的临界点。在线性方程情形，其弱解就是使相应泛函取极小值，而在非线性方程情形，其相应泛函可能既没有上界，也没有下界。范猛，王克[29]清晰地介绍Yoshizawa，Massera利用推广的Brouwer型不动点理论和Liapunov法等理论把微分方程周期解的存在性和解的有界性建立了联系。 对于表征硬弹簧振动和牛顿运动的Duffing方程的周期问题，因涉及的领域广泛，众多学者对其进行了深入研究，得到了一系列重要而深刻的结果[3]-[11]。随着现代数学理论的不断发展，人们提出了许多研究微分方程周期解存在性的方法和工具。如抽象代数引理和傅里叶级数，非线性泛函分析，临界点理论，迭合度理论，最优控制论，大范围反函数理论等。 1973年，Ambeosetti，Rabionowitz和Ekeland提出著名的山路引理，山路引理给出了求证其对应泛函的临界点的方法，从而成为研究非线性微分方程边值问题的重要引理。本文主要运用山路引理的方法，分别尝试证明Duffing方程2π-周期解的存在性和非共振椭圆型方程解的存在性，使得常微分方程中的证明方法和理论得以向椭圆型方程领域扩展。 本文的主要研究成果是： 1.利用变分方法将一类无阻尼Duffing方程的周期边值问题转化为与之等价的非线性泛函的临界点问题，并利用山路引理证明这类Duffing方程2π周期解的存在性。 设条件(I)-(IV)满足：(I)g(u)∈C(R；R)并存在1≤a2)，使｜g(u)｜≤a+b｜u｜a，a>0，b>0。(II)存在δ∈(0，1/2)及M>0，使G(u)=∫u0g(s)ds≤δug(u)，A｜u(t)｜≥M，t∈[0，2π]。 (III)下面两个极限式成立，lim/u→0g(u,t)/u=0，对(u,t)∈R×[0,2π]一致；lim/u→+∞/g(u,t)=+∞，对(u,t)∈R×[0,2π]一致。(IV)e(t)有界。则Duffing方程u(t)+g(u)=e(t)存在2π-周期解。 2.证明一类具有Dirichlet边界条件的非共振二阶椭圆型方程在(L2(Ω))n空间上弱解的存在性问题。本文考虑Laplace算子的特征值问题，首先在每个有限维的步上，应用山路引理，证明在有限维子空间上，此类非共振椭圆型微分方程弱解的存在性，然后推广到(L2(Ω))n空间上证明其弱解的存在性，并由此推出具有Dirichlet边界条件的非共振二阶椭圆型方程弱解的存在唯一性。