随着现代社会网络技术的发展,无线信息的传送已经成为现代社会信息传输的主要方式,随之而来信息安全有着越来越重要的地位,而密码学是信息安全的核心部分,公钥密码学在现代密码学中有着很广泛的应用,自然公钥密码学成为我们研究的重点。　　 自从1976年Whirefield Diffie和Martin Hellman提出了公钥密码的思想后,开辟了密码学的新纪元,自此密码学有着新的发展方向。公钥密码学是加密密钥和解密密钥不同的密码学体系,为了区别加密密钥和解密密钥相同的对称密码系统,故取名为公钥密码。它是基于单向陷门函数的一种密码体系,同时基于一种数学难题,可以这样说它研究的核心就是利用数学函数去构造加密算法。最近二十多年来,公钥密码学有着飞速的进步,在加密、数字签名、身份认证等诸多方面都有很大的进展。目前比较流行的密码方案基于两大数学难题,第一是基于大整数分解问题；第二是基于离散对数问题。现在应用比较广泛的公钥密码有RSA、ElGamal、Diffie-Hellman、椭圆曲线等。　　 本文主要基于代数方法,对公钥密码算法特别是E1Gamal公钥密码进行研究。首先介绍了公钥密码学研究的背景和发展情况,同时学习了代数学、数论等基本数学知识,认真分析了半群、群、环、域等代数结构的特点,研究了主要的几种公钥密码学算法,讨论了代数结构与公钥密码算法的联系,随后总结了基于代数方法的ElGamal公钥密码体制,建立了广义的ElGamal公钥密码算法,同时对四元整数群进行研究,提出了基于四元整数群的ElGamal公钥密码体制,其安全性基于大整数分解和离散对数问题的困难性,并利用Visual C++举出小参数的例子,在计算机上进行模拟实现,讨论分析了其安全性。