作为典型的相场模型,经典二阶的Allen-Cahn方程已广泛应用于许多复杂的运动界面问题,例如:囊泡膜,固体成核和两种不可混溶流体的驱替过程等。因此,对其建立高效的数值模拟方法具有重要理论价值和实际意义。但是,现场实验和数学分析表明:大量扩散界面生成与发展依赖于各相物质粒子的长程作用力。而这样长程力作用的扩散过程可借助于分数阶导数算子而不是整数阶算子刻画。因此对分数阶相场模型进行数值模拟是非常有必要的。本文主要研究如下分数阶Allen-Cahn方程:其中Ω=(0,1),τ∈(0,1),K>0为扩散系数,(-△)r是定义在整个空间R上的Riesz-type分数阶Laplace算子。本文内容主要包括两部分:1、分数阶Allen-Cahn方程的向后欧拉-有限元方法。针对上述分数阶Allen-Cahn方程建立Galerkin变分形式,时间导数部分采用向后欧拉方法离散,空间导数部分采用有限元方法离散,从而提出分数阶Allen-Cahn方程的有限元全离散格式。利用压缩映像原理证明了有限元离散格式解的可解性和能量稳定性,在新的能量定义形式下提出了一种新的能量等式,根据离散的Gronwall不等式及椭圆投影的估计得到相应的误差估计。分数阶Laplace算子的非局部性导致了有限元方程的系数矩阵是非稀疏的,我们利用共轭梯度算法求解有限元方程时,相应的计算量和存储量较大。因此,我们采用线性化思想并将共轭梯度算法与快速傅里叶变换以及非稀疏矩阵的特殊Toeplitiz结构三者之间巧妙地结合,设计了一种快速共轭梯度算法,使得计算量和存储量降至O(MlogM)和O(M)。通过数值实验验证了理论分析的准确性,并且清晰地刻画了界面的粗化过程。2、分数阶Allen-Cahn方程SAV方法。我们对上述分数阶Allen-Cahn方程引入辅助标量,时间导数部分采用C-N方法离散,从而提出分数阶Allen-Cahn方程的SAV半离散格式。根据离散格式的特点巧妙地证明了格式的无条件能量稳定性,根据离散的Gronwall不等式得到相应的时间误差估计。通过数值实验验证了理论分析的准确性。