【摘 要】
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k-边着色是指对图的边用k种颜色进行着色.一个k-边着色称为恰当的,是指这k种颜色都出现.一个图称为彩虹的,指的是这个图的所有边的颜色都不相同.一个图称为单色的,指的是这个图的所有边的颜色都相同.在本文中研究的边着色都是恰当着色.拉姆齐理论起源于20世纪20年代,最初由英国数学家弗兰克.拉姆齐提出.自从1930年开始,拉姆齐类型的问题一直是离散数学中的研究热点,它表明在充分大的世界中存在有序的部分
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k-边着色是指对图的边用k种颜色进行着色.一个k-边着色称为恰当的,是指这k种颜色都出现.一个图称为彩虹的,指的是这个图的所有边的颜色都不相同.一个图称为单色的,指的是这个图的所有边的颜色都相同.在本文中研究的边着色都是恰当着色.拉姆齐理论起源于20世纪20年代,最初由英国数学家弗兰克.拉姆齐提出.自从1930年开始,拉姆齐类型的问题一直是离散数学中的研究热点,它表明在充分大的世界中存在有序的部分世界,而完全无序的世界是不存在的.不包含彩虹子图K3的完全图的边着色有特殊的结构.1967年,加莱首次研究了这个结构,并给出了没有彩虹子图K3的结构定理,因此不包含彩虹子图K3的完全图的边着色称为加莱着色.近年来关于加莱-拉姆齐数的研究蓬勃发展,已经成为拉姆齐类型的问题中的研究热点.给定两个非空图G,H,和一个正整数k,加莱-拉姆齐数grk（G:H）定义为最小的整数N使得对所有的n ≥ N,对完全图Kn进行任意的k-边着色要么存在一个彩虹子图G要么存在一个单色子图H.给定加莱-拉姆齐数grk（G:H）,加莱-拉姆齐重数GMk（G:H）定义为对Kgrk（G:H）进行任意的k-边着色,出现的彩虹子图G和单色子图H的个数之和的最小值.当k≥ 3且图G∈{K1,3,P5,P4+}时,如果对于完全图的任意的k-边着色不出现彩虹子图G,那么该完全图将有一些特定的结构.解决grk（G:H）的主要方法是按照加莱-拉姆齐数的定义和没有彩虹子图G的结构定理分类讨论.另外,还需要注意当颜色数k充分大时,对完全图Kn进行任意的k-边着色总会出现彩虹子图G,因此我们需要找到满足这种情形的k的范围.本文首先给出了加莱-拉姆齐数的一些性质,接着给出了一些grk（G:H）的确切值和上下界,最后给出了一些GMk（G:H）的确切值和上界,其中k≥3,G∈{K1,3,P5,P4+},H是一些完全二部图.
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