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吸引子的下半连续性是吸引子的稳定性理论中十分困难的一部分。Hale和Raugel曾对具有双曲平衡点的梯度系统证明了吸引子的下半连续性，这一结果至今仍然是研究吸引子的下半连续性的基础。但Hale和Raugel的证明显得过于沉长和复杂，因此关于吸引子的下半连续性的简单证明就显得尤为重要。该论文给出吸引子的下半连续的一个十分简化的证明，该证明不仅使我们便于把握吸引子的下半连续性，而且还能使我们从其他方面更好地理解梯度系统中吸引子稳定性的内在性质。作为学位论文的一个组成部分，本文还讨论了带有小时滞的系统吸引子的稳定性。