测地线是指限制在曲面上的最短路径,蕴含了曲面的所有内蕴属性,是形状分析的基础。测地线的计算是计算机图形学、计算几何、计算机视觉、路径规划等多个领域共同关注的研究课题。考虑到连续曲面上一般不存在测地方程的闭式解,大多数已有方法在三角网格曲面上寻求以折线作为表示的离散测地线。从目前的研究进展来看,已有研究工作尚不能满足数据多样性和算法普适性两大需求。一方面,三维模型的表达有多种形式,包括点云,网格曲面,参数曲面,隐式曲面等;另一方面,现实应用中的测地线问题存在各种各样的差异,例如测地环,长测地线,密度场中的测地线或者最小代价路问题等。本文基于新的测地变分形式,提出跨几何域计算差异化测地线问题的通用算法框架。本文贡献主要包括以下三个方面:（1）与传统的最小化路径长度不同,本文以∫01 H（|xuu,（t）+xvv’（t）|）dt为目标函数,其中H是凸函数。其最大优点是在极值状态下,该曲线自然满足弧长参数化,起到了约简解空间的作用。本文进一步探讨了不同的H对算法收敛性的影响。（2）该变分的离散形式为∑i=1nH（||xi-xi+1||）,在最优状态下目标点沿测地线均匀分布,形成了对连续测地线的高质量逼近。为了在不同的几何域中优化该目标函数,本文将曲面抽象表达为“投影操作下的不动点”。一方面,针对不同几何域定义了相应的投影操作;另一方面,设计了仅依赖投影操作的优化算法。二者的巧妙适配实现了跨几何域的测地线计算。（3）本文进一步探讨了路径的初始化、中间点数目的选择、各向异性度量等一系列相关问题,以适应测地线问题的差异化需求。特别地,使用本文算法解决了经典的最速下降曲线问题,速度快,精度高,易于编程实现,这充分说明了本文算法的普适性。