【摘 要】
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Liouville型方程在数学物理问题以及几何分析当中具有广泛的应用,比如平均场方程,预定Gauss曲率问题以及Chern-Simons理论等问题.在过去几十年,数学工作者对Liouville型方程的研究取得了一系列重要的成果,极大的促进了数学和物理的进展.在研究Liouville型方程时,一个重要的方面是爆破分析,因为它和解的收敛性质密切相关.通过爆破分析,可以处理Moser-Trudinger
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Liouville型方程在数学物理问题以及几何分析当中具有广泛的应用,比如平均场方程,预定Gauss曲率问题以及Chern-Simons理论等问题.在过去几十年,数学工作者对Liouville型方程的研究取得了一系列重要的成果,极大的促进了数学和物理的进展.在研究Liouville型方程时,一个重要的方面是爆破分析,因为它和解的收敛性质密切相关.通过爆破分析,可以处理Moser-Trudinger型不等式,局部一致估计,解的存在性等问题.对于具有Dirichlet边界条件的Liouville型方程,很多数学工作者研究了这类方程,取得了相当多的成果.但是近些年来,随着几何中的预定高斯曲率和边界曲率问题研究的需要,具有指数Neumann边界条件的Liouville型方程也引起了数学工作者的注意,并且对无奇性项的方程取得了一些成果.但是,如果内部或者边界具有奇点,对这类具有奇性项和具有指数Neumann边界条件的Liouville型方程的研究是具有重要意义的.基于此,我们将研究这类具有奇性项的方程.本文的具体内容可概括如下:第一章主要介绍本文的研究背景以及具有指数Neumann边界条件的Liouville型方程的一些研究成果,同时介绍本文的主要研究内容.第二章主要研究无奇性项的具有指数Neumann边界条件的Liouville型方程在爆破点处的能量量子性态.我们将借助于“sup+inf”不等式建立Li-Shafrir型的能量量子性态结果.第三章主要研究具有奇性项和指数Neumann边界条件的Liouville型方程的爆破分析及在奇性爆破点处的能量量子性态.当方程具有奇性项时,它的研究将更为复杂.我们将借助于Tarantello型的分解引理和新的“sup+inf”不等式对这类方程进行更细致的研究.第四章主要研究具有奇性项和指数Neumann边界条件的Liouville型方程在奇性爆破点处的局部一致估计.我们将分别讨论α（?）N和α ∈N+两种情形,建立了两种不同的局部一致估计.
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