该文证明了四元数体上矩阵的Lyapunov定理及其完备形式:(1)四元数体上矩阵A是正态稳定矩阵的充要条件是存在一个四元数体上的正定矩阵G,使得GA+A*G也是正定矩阵.(2)四元数体上矩阵A是正态稳定矩阵的充要条件是对四元数体上任意的Hermitian矩阵P都存在一个四元数体上的半正定矩阵X,使得AX+XA*+P半正定,且X(AX+XA*+P)=0.在证明上述定理的过程中,该文还给出了四元数体上两个Hermitian矩阵内积的定义:对于四元数体上的任意Hermitian矩阵X、Y有(X,Y)=1/2trace(x<,X> x<,Y>).另外,该文还将文献[15]中的定理11(Stein定理的完备形式)推广到了四元数体上:一个四元数体上矩阵A的标准特征值的模都小于1的充要条件是对于四元数体上任意的Hermitian矩阵P都有一个四元数体上的半正定矩阵X,使得X-AXA*+P半正定,且X(X-AXA*+P)=0.最后,文章还指出了谢邦杰在文献[4]中的一些错误,并在文献[1]的基础上给出了文献[4]中部分定理的简洁的新证明.