通过对谐波平衡方法的深入分析,提出了迭代谐波平衡方法并对比分析了牛顿谐波平衡方法和迭代谐波平衡方法的异同。从本质上说修正的谐波平衡方法主要是克服经典谐波平衡方法在构造高阶解过程中非线性代数方程组的求解困难,对控制方程进行线性化或对高阶代数方程组进行线性化都可以克服这些困难,前者即是牛顿谐波平衡方法,后者即是本文提出的牛顿迭代谐波平衡方法。考虑如下的非线性振动控制方程这里,假设f(u)是奇函数,即f(-w)=-f(w),且当w∈[-A,A],u≠0时满足wf(w)>0。1.单项谐波平衡方法2.N项谐波平衡方法取相应的解为式中,x3,x5,…x2N-1是未知量。进一步地,基于奇函数假设f(-u)=-f(u),f(uNB(τ))能够展为如下的傅立叶级数将式(4-6)代入到方程(1),整理后令cosτ,cos3ττ,cos(2τ,...,系数为零,得关于Ω,x3,x5,…,x2N-1的非线性代数方程组通常情况下非线性代数方程组(7)难以建立解析解。3.迭代谐波平衡法将方程(7)写为为建立方程(8)的高精度解析逼近解,可以借助数值代数里的数值迭代解法,如牛顿法及各种拟牛顿法。与数值迭代法不同的是,本文给出的迭代谐波平衡法利用单项谐波平衡解作为迭代初值,且每步迭代结果都是解析表达。利用牛顿迭代法可得到如下的迭代公式X1=(Ω1HB,0,0,..,0)(10)式中,F’(Xk)是F在Xk处的Jacobian矩阵。从前述推导可以看出,牛顿谐波平衡方法与迭代谐波平衡方法主要区别是牛顿方法是用于非线性控制方程的近似还是用于非线性代数方程的近似,某些特定的例子可以证明两种方法建立的逼近解是等价的。迭代谐波平衡方法中迭代公式改为拟牛顿方法,可以得到下面的拟牛顿迭代解方程Xk+1=Xk+dk+dk dk-[F’(X1)]X1F(Xk),k = 1,2,…X1=(Ω1HB,0,0,…,0)T(11)一般说来,拟牛顿迭代谐波解的表达要简单得多,但解的精度通常没有牛顿谐波平衡方法和牛顿迭代谐波平衡方法高。4.修正的谐波平衡方法自动化程序设计基于Mathematica设计了 3个程序模块,控制方程初始化模块、求解模块以及后处理模块,实现了上述各种修正的谐波平衡方法的自动化求解,该程序不仅能够给出各种方法构造的逼近周期及周期解且能够给出这些解与数值解的比较。最后利用上述修正的谐波平衡及编制的Mathematica程序我们对三次Duffing方程及非自然振动系统进行了研究,结果表明这些修正的谐波平衡法能够建立相应的高精度解析逼近周期及周期解。编制的程序能够自动建立各非线性振动系统的解析逼近解并能够完成这些解与数值解的比较。