基于粒子物理学中的问题,F.J.Dyson于1962年猜测出一个常数项恒等式,此等式称为Dyson猜想。在Dyson的文章发表之前,其猜想分别被Gunson与诺贝尔奖获得者Wilson给予了证明。之后不久,Good应用Lagrange插值给出了此猜想一个优美的递归式的证明。此外,运用Vandermonde行列式恒等式与多重竞赛图,Zeilberger还给出了此猜想的一个组合证明。 自Dyson猜想被提出以来的数十年间,其产生了许多推广与变化(例如,q-Dyson猜想、Morris与Aomoto恒等式、Forrester猜想),这些推广与变化都较原始Dyson猜想复杂的多。 Andrews于1975年给出了Dyson猜想的q模拟,并注意到n=3时q-Dyson猜想等价于众所周知的恒等式-q模拟Dixon定理。但是q-Dyson猜想在此后的十年间一直没有得到证明,直到1985年Zeilberger与Bressoud给出了此猜想的组合证明。又经过二十多年,基于Laurent级数与多项式的观点,Gessel与辛国策给出了此猜想的第二种证明。 Morris常数项恒等式首先出现在Morris的博士论文中。通过扩展其等价形式(Selberg积分),Aomoto给出了Morris等式的一个推广-Aomoto常数项恒等式。Morris等式的另一个推广是Forrester猜想。Forrester证明了此猜想的两种特殊情况:a=b=0(k,n0,n1任意)与k=1(a,b,n0,n1任意)。Kaneko证明了n1=2,3与n1=n-1三种情况。此外,Forrester与Baker还给出了此猜想的q模拟。 另一方面,一些数学家推广了Good证明Dyson猜想的方法。令大家感兴趣的是计算Dyson乘积的关于单项式M:=∏ni=0xibi的系数,其中∑ni=0bi=0。运用Good的思想,Kadell刻画出了如何计算M=x1/xn,M=x1x2/xn1xn与M=x1x2/xn2时的Dyson系数。顺着这一思路,Zeilberger与Sills描述了一个如何自动猜测并证明Dyson系数的算法。此算法的可靠性并未给予严格的数学证明。应用此算法,Sills猜测并证明了M=xa/xr,M=xaxt/xr2与M=xtxu/xrxs时的Dyson系数。最近,吕仑、辛国策和周岳通过推广Gessel-xin证明q-Dyson猜想的方法,得到了分母中不含平方项的Dyson系数。 在本篇论文中,我们讨论了一系列著名的常数项恒等式:Dyson,Morris,Aomoto与Forrester常数项恒等式。本篇论文的主要贡献如下：首先,我们给出了Dyson,Morris,Aomoto常数项恒等式一个统一的初等的证明。由于这些常数项恒等式从某种意义上来说可以看作多项式,因而可以通过验证足够多个值的方法来证明它们(通常我们选择验证使其归零的负整数值)。进一步地,我们的方法可以证明Forrester猜想的一些特殊情况。 在证明上述常数项恒等式的过程中,我们的想法是：首先固定除一个参数外的所有参数,这样这些常数项恒等式就可以看作是关于此参数(例如a)的最高次数为d的多项式。其次,我们容易验证a=0时,这些常数项恒等式左右两边相等。最后,验证取其余d个值时,等式成立,此步骤根据不同的等式证明过程有所不同。在证明Morris,Aomoto与Forrester常数项恒等式过程中,我们需要处理重根问题。应用多项式的观点我们证明了没有重根的情况。基于Dyson型常数项的有理性(即Morris,Aomoto与Forrester常数项可以看作关于其所有参数的有理函数),我们将其无重根的情况推广到一般情形。 其次,通过推广Good证明Dyson猜想的方法,本文首次给出了关于xr2/xs2与xr2/xsxt的Dyson系数的闭形式。进一步地,我们还构造了一种直接计算上述Dyson系数的方法。此结果自然地延续了Zeilberger与Sills所求的分母中不含有平方项的Dyson系数的工作。利用上述结果,我们还构造出了几个有趣的Dyson型常数项恒等式。 最后,我们证明了一个有理性的结论。一方面,此有理性结论在证明Morris,Aomoto与Forrester常数项时被用来处理重根问题。另一方面,此结论在求解Dyson系数时具有基础性作用。需要指出的是,一些研究者(例如,Sills,Zeilberger,吕仑,辛国策和周岳)已经给出了某些Dyson系数(例如,M=xs/xr,M=xsxt/xr2,M=xtxu/xrxs,M=x2/xs2与M=xr2/xsxt),他们的结果均暗示了Dyson型常数项的有理性。