分数阶微积分是一个古老而新鲜的话题,在早期,由于缺乏物理机理解释、应用背景研究等原因,分数阶微积分发展缓慢.后来随着科学技术的发展,关于分数阶微积分的研究内容由理论研究逐步转向应用研究,比如其在高能物理、反常扩散、生物医学工程、系统控制及复杂粘弹性材料力学本构关系中的应用.近年来,许多学者对分数阶微分方程的求解进行研究,但由于分数阶导数定义中的微分-积分卷积算子的存在,使得其具有历史依赖性和全局相关性的性质,因此直接求解分数阶偏微分方程的解析解比较困难.同时,根据实际问题所构建的分数阶微分方程模型,关于方程中各个参数的变化对模型的影响的研究,对于分析问题内在物理机理及力学机制等具有重要的研究意义.但是,目前对于分数阶模型中的参数估计问题,主要采用的方法是“试差法”,这种方法效率低下同时相对不稳定.因此,对分数阶微分方程提出高效数值求解方法,并基于正问题的数值方法,提出合适的模型参数估计方法是一项有意义的研究.本文主要研究分数阶微分方程的高效数值求解方法及其参数估计问题.首先,对于具有周期性边界条件的时空分数阶电报方程提出时间方向Crank-Nicolson有限差分、空间方向傅里叶谱方法的数值格式,并对所提格式给出严格的收敛性与稳定性理论分析,数值实现过程中,借助快速傅里叶变换的技巧,极大地提高了运算效率.其次,我们对于具有齐次边界条件的二维分数阶加热广义二阶流体Stokes’第一问题提出时间方向L1有限差分,空间方向勒让德谱方法的数值格式,并考虑到方程具有非光滑解的情形,通过提出添加校正项的方法得出合适的数值解,同时给出所提方法严格的稳定性与收敛性理论证明.第三,借助于分数阶Maxwell本构方程,基于人体血液实验数据,采用非线性共轭梯度的方法给出本构方程中的参数估计值,极好的拟合实验数据.同时,结合连续性方程与柯西动量方程,构建了分数阶Maxwell流体电渗流流速的控制方程,并对控制方程提出一种高效的数值解法.第四,基于煤基质中甲烷气体吸附与解吸过程实验数据,借助分数阶菲克定律构建了多孔介质中的气体反常扩散模型,并提出模型的高效数值解法.将BFGS方法运用到分数阶模型的参数估计中,同时对比分析了BFGS方法、非线性共轭梯度方法及贝叶斯方法在参数估计中的优劣,研究结果表明,分数阶分形扩散模型可以很好的表示煤炭颗粒中甲烷气体的解吸过程.第五,发展了关于时间分数阶Cable方程的新的数值模拟技术,提出了基于勒让德多项式及其运算矩阵的高效时空谱tau算法,并给出了数值格式的收敛性证明.同时,利用非线性共轭梯度法建立方程的分数阶参数估计模型,并针对分数阶阶数的估计问题进行稳定性与收敛性分析,完善了分数阶模型参数估计反问题的理论框架.具体地:第一章,我们简要介绍分数阶微积分,并给出本文中用到的分数阶微积分的几种定义.然后,简要概述本文的主要研究内容.第二章,我们研究了具有周期性边界条件的时空分数阶电报方程的数值求解方法及其参数估计问题.对于这一问题,我们首先构造了时间方向Crank-Nicolson（CN）有限差分,空间方向傅里叶谱方法的数值离散格式,并在数值实现过程中,采用了快速傅里叶变换（FFT）的技巧来提高计算效率,同时给出离散格式的稳定性和收敛性的严格证明.对于参数估计问题,我们借助于正问题所提的CN有限差分傅里叶谱方法,提出Levenberg-Marquardt（LM）方法进行参数估计,通过添加随机扰动项与否来数值模拟实验数据的方式,对模型中分数阶阶数进行估计.最后,我们给出数值算例,数值结果表明,我们所提数值方法是无条件稳定的,该格式在时间方向可达到2-α阶精度,空间方向可以达到谱精度.同时,对于不同的初始猜测值和随机扰动误差,采用LM方法均可得到合理的参数估计值.这验证了所提方法的有效性和理论分析的合理性.第三章,我们对具有齐次边界条件的二维分数阶加热广义二阶流体Stokes’第一问题进行研究.对于这一问题,我们构造了时间方向采用L1有限差分,空间方向采用勒让德谱Galerkin方法的数值离散格式.借助所采用的L1有限差分格式对时间分数阶导数进行逼近时系数的性质关系,给出离散格式的稳定性与收敛性分析.同时,考虑了方程具有非光滑解的情形,并提出添加校正项的方法,将低正则项进行校正处理,给出合理的数值解.最后,对于不同的分数阶阶数γ,通过数值算例,我们验证了数值解与精确解之间分别关于时间方向和空间方向的误差、收敛阶和计算所需的CPU时间,结果表明我们所提格式在时间方向收敛阶为1+γ,在空间方向可达到谱精度,这也验证了理论分析的合理性.第四章,我们研究了矩形微通道中分数阶Maxwell流体的电渗流动.非牛顿流体在微通道中的应用主要与生物流体的研究有关,其中,最常用的应用是对血液的研究.在这一章节,我们基于人体血液耗散与存储模量实验数据,借助分数阶Maxwell本构方程,提出非线性共轭梯度的方法对方程中分数阶参数α,β,松弛时间τ和剪切模量E进行参数估计,为了得到精确的参数估计值,我们提出一种新型对数误差函数表示形式.所得结果与实验数据高度吻合,表明分数阶Maxwell模型可以极好的用来模拟人体血液的特性.其次,我们以上述模型为基础,建立了电渗驱动下的粘弹性流体动力学模型,构建了关于分数阶Maxwell流体电渗流流速的控制方程,并采用时间方向有限差分,空间方向勒让德谱配点的数值求解方法求出流体的速度场.研究结果对于微流控装置的设计及微通道中流体粘弹性行为的预测具有重要的指导意义.第五章,我们基于实际实验,研究了煤基质中甲烷气体吸附与解吸过程.由于煤炭颗粒对甲烷气体具有吸附性,同时煤基质孔隙具有非均匀性,其孔隙大的有几百微米,小的只有几十纳米,甚至几埃米.在这样的多孔介质中,气体分子的扩散路径受到扭曲,分子与壁面也会发生碰撞,而且在吸附或者解吸过程中,气体的压力随时间发生改变,压力变化引起平均自由程的改变,自由程与扩散路径有关,所以扩散过程通常呈现反常扩散.在这里,我们基于煤炭颗粒的这些特性,构建了煤基质中甲烷气体解吸过程的分数阶分形扩散模型,并提出时间方向有限差分、空间方向勒让德谱配点法的方法给出模型的数值解.然后,我们基于正问题的数值方法,对模型中分数阶阶数α、分形维数df、结构参数θ进行估计,并将BFGS方法运用到分数阶模型的参数估计中,同时对比分析了 BFGS方法、非线性共轭梯度方法及贝叶斯方法在参数估计中的优劣,所研究结果极好的拟合了煤炭颗粒中甲烷气体的解吸过程,为地下煤矿中瓦斯气体的开采及煤矿安全生产的研究提供理论支撑.第六章,我们研究了时间分数阶Cable方程正反问题的新的数值模拟技术.首先,对于时间分数阶Cable方程的正问题,我们提出基于转换的勒让德多项式及其运算矩阵的时空勒让德谱tau方法,给出了正问题的数值解,并证明了数值算法的收敛性.其次,以分数阶导数阶数为待估计参数,利用非线性共轭梯度法建立时间分数阶Cable方程的分数阶参数估计模型,并基于正问题的数值方法,通过仿真试验对分数阶参数进行了估计,讨论了待估计参数的初始猜测值、测量误差等对参数估计结果的影响.同时,对参数估计方法的稳定性和收敛性给出理论证明,完善了分数阶模型参数估计的理论框架,并为前面几个章节中参数估计在模型中的应用提供理论支撑.最后,给出数值算例验证所提方法的有效性及理论分析的合理性,并验证了时空勒让德谱tau方法对于模型中边界条件处理的灵活性.第七章,给出本文的总结和未来的研究工作展望.